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Bn  L LETT  N PH  YSICO  - MATHÉMATIQUE 
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une  Iraction  rationelle  de  cette  variable;  TV  et  M étant 
deux  fonctions  entières,  sans  facteur  commun,  et  l’on 
peut  supposer  le  degré  de  la  dernière  plus  élevé  que 
celui  de  la  première. 
Voyons  d’abord  si  l’intégrale 
J M 
peut  être  algébricpie?  et  si,  pour  qu’elle  le  soit,  ily  a 
des  conditions  à satisfaire;  de  quelle  nature  sont  ces 
c onditions? 
On  sait,  et  il  est  facile  de  le  démontrer  que  l’intégrale 
dont  il  s’agit,  pour  être  algébrique  doit  être  rationnelle, 
car  la  différentielle  d’une  fonction  irrationnelle  est  elle- 
même  irrationnelle.  Ainsi  trouver  cpiand  l’intégrale 
M 
est  algébrique,  c’est  trouver  les  coirditions  pour  qu’on 
puisse  supposer 
j l’unité,  si  les  fonctions  P et 
dP 
dx 
sont  premières  entre 
/ 
/ 
N 
M 
dx  — — — 
Ä iii  P étant  des  fonctions  entières,  sans  facteurs  com- 
muns, et  il  est  facile  de  s’assurer  que  le  degré  de  A doit 
être  plus  petit  que  celui  de  P. 
En  différeirciant  nous  aurons  l’étplation 
N 
~w 
dx 
dx 
dP 
dx 
X 
pz 
dont  le  premier  membre  est  irréductible  par  liypothèse 
et  dont  la  seconde  partie  n’est  réductil)le  cjue  dans  le  cas 
dP 
où  P et  — — auraient  des  facteurs  communs,  car  le  numé- 
dx 
rateur 
dX  dP 
ne  saurait  être  divisible  par  aucun  facteur  de  .P,  à moins 
rfP  1 . , , T , . r,  dP 
que ne  ie  soit;  c est-a-dire  a moins  cjue  P et  — 
dx 
n’aient  des  facteurs  communs,  puisque  X et  P n’en  pos- 
sèdent point.  Or,  la  fonction  P étant  inconnue,  il  est  im- 
dP 
possible  à décider  si  elle  et  sa  dérivée  — possèdent  ou 
dx 
non  un  diviseur  commun.  Cependant  l’hypothèse  d’un 
dp 
facteur  ou  diviseur  commun  à P et  - — renferme  visihle- 
dx 
ment  l’hypothèse  contraire,  puisque  celle-ci  ayant  lieu,  le 
diviseur  dont  il  s’agit  serait  l’unité.  Ainsi  en  admettant 
»•1  ’ dP 
quil  y ait  un  facteur  P,  commun  à P et  — r-,  on  admet 
dx 
1 hypothèse  la  plus  générale,  car  Pj  se  réduirait  à 
^ elles. 
Supposons 
P = qp, 
~ — BP^, 
dx  ^ 
dP 
Pj  étant  le  plus  grand  diviseur  commun  à P et  -j- , les 
polynômes  Ç et  A n’auront  point  de  facteurs  communs. 
dP 
Remplaçons  P et  ~ par  leurs  valeurs  précédentes  et 
supprimons  le  multiplicateur  jPj,  commun  au  numéra- 
teur et  au  dénominateur,  nous  obtiendrons  l’équation 
/Y 
1/ 
Q§  - nx 
OP 
dont  la  seconde  partie  ne  souffre  plus  aucune  réduction; 
elle  est  irréductible  comme  la  première.  Cette  seconde 
partie  étant  la  dérivée  de  la  fraction 
X 
~P  ’ 
nous  en  concluons  que  la  différenciation  d’une  fraction 
rationnelle  lui  fait  aquérir  au  dénominateur  un  facteur  Q 
formé  du  produit  de  tous  les  diviseurs  simples  qu’avait  le 
dénominateur  avant  la  différenciation.  Car  il  résulte  de  la 
théorie  du  plus  grand  commun  diviseur  que  la  fonction 
q renferme  tous  les  diviseurs  simples  de  P,  chacun  ne 
s y trouvant  qu’une  seule  fois.  Il  s’en  suit  cpie  le  produit 
qi*  renfermera  les  mêmes  diviseurs  cjue  P,  mais  ceux 
que  P contenait  une,  deux,  trois  etc.  fois  se  trouveront 
deux,  trois,  quatre  etc.  fois  dans  qP.  Donc  le  dé- 
nominateur de  la  dérivée  d'une  fraction  rationnelle,  ne 
[leiit  contenir  ipie  des  facteurs  multiples,  et  par  consé- 
quent il  serait  impossible  d’intégrer  algébriquement  une 
fraction  dont  le  dénominateur  renfermerait  des  facteurs 
simples  qui  ne  s’y  trouveraient  qu’à  la  première  puis- 
sance. Ainsi  la  première  condition  d’intégrrbilité  algé- 
bricjue  tl’une  fraction  rationnelle  demande  c[ue  le  déno- 
minateur de  cette  fraction  ne  contienne  cjue  des  facteurs 
multiples. 
Si  le  dénominateur  31  de  la  fraction  proposée  satisfait 
à la  condition  qu’on  vient  d’énoncer,  l'équation 
BX 
N 
M 
qp 
dont  les  deux  membres  sont  irréductibles,  donnera  d’abord 
qp  — M, 
ce  qui  servira  à déterminer  tant  la  fonction  P que  les 
polynômes  q et  jß;  nous  aurons  ensuite 
