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DE  l’Academie  de  Saint-Pétersbourg. 
dX 
dx 
RX—  N 
et  cette  dernière  e'galité  constituera  une  seconde  condition 
d’intégrabilité  alge'biique  de  la  fraction 
Ndx 
M 
condition  qui,  dans  des  cas  pris  au  hasard,  sera  rarement 
remplie. 
Nous  avons  dit  que  les  fonctions  P,  Q e\.  R se  dé- 
terminent au  moyen  de  l’équation 
QP  — M. 
En  effet,  pour  peu  qu’on  se  souvienne  de  la  théorie 
des  fonctions  entières,  on  reconnaîtra  que  P est  le  plus 
grand  dis  iseur  commun  à M et  ; on  trouvera  donc 
P par  les  procédés  communs^  on  aura  ensuite  Q en 
divisant  M par  P.  Pour  avoii  /?,  désignons  par  U le 
quotient  qu’on  obtient  en  divisant  la  dérivée  par  P,  nous 
aurons 
dM 
dx 
— UP 
d’un  autre  côté 
iE  — O ^ dQ 
dx 
donc 
ou  bien,  eu  égard  aux  équations 
P = QP, 
f 
(V  P-  QJtP,  = RP 
donc 
R zz  U - 
dQ 
dx 
On  peut  aussi,  connaissant  P,  chercher  le  plus  grand 
dP 
diviseur  P,  commun  à P et  ^ l’on  aura  ensuite 
A Hnr 
dx 
1 
dP 
dx 
Il  résulte  de  ce  qui  précède  que , quand  luie  fraction 
rationnelle  est  intégrable  algébriquement,  le  dénomina- 
teur de  son  intégrale  est  le  plus  grand  diviseur  commun 
au  dénominateur  de  la  fraction  proposée  et  à la  dérivée 
de  ce  dernier  dénominateur.  Pour  le  numérateur  de 
l’intégrale,  il  sera  représenté  par  la  fonction 
. dX  / X 
dx 
( 
U 
ou  par  celle-ci 
d.QX 
dx 
— ux. 
dx  J 
X étant  ime  fonction  inférieure  en  degré  au  dénomina- 
teur P,  et  les  fonctions  Q et  U dérivant  du  dénomina- 
teur comme  on  vient  de  l’expliquer. 
3.  Quel  que  soit  le  dénominateur  d’une  fraction  ra- 
tionnelle, si  l’on  excepte  un  seul  cas,  on  pourra  toujours 
trouver  une  infinité  de  numefrateurs  rendant  la  fraction 
intégrable  algébriquement.  En  efïèt,  pour  satisfaire  à la 
première  condition  d’intégrabilité,  c’est-à-dire  à celle  qui 
se  rapporte  au  dénominateur,  dans  le  cas  où  elle  n’est 
pas  satisfaite  d’elle-même  , il  n’y  a qu’à  supposer  que  le 
numérateur  est  divisible  par  le  produit  de  tous  ces  fac- 
teurs simples  du  dénominateur  qui  ne  s’y  trouvent  qu’à 
la  première  puissance;  pour  lors,  il  ne  restera  au  déno- 
minateur que  ses  facteurs  multiples,  et  ce  c£ui  restera 
du  numérateur  sera  une  fonction  entière  dont  les  coef- 
ficients sont  à notre  choix.  On  pourra  donc  en  dispo- 
ser de  manière  qui  entraîne  l’intégration. 
Si  l’on  veut  voir  la  chose  de  plus  près,  que  l’on 
prenne  une  fraction 
N 
M 
dont  le  dénominateur  est  censé  donné,  comme  on  le 
voudra,  et  dont  le  numérateur  inconnu,  seulement  plus 
petit  en  degré  que  le  dénominateur,  doit  être  déterminé 
par  la  condition  que  l’intégrale 
/ 
N 
æT 
dx 
soit  algébrique. 
Désignons  par  q le  produit  de  tous  ceux  parmi  les 
facteurs  simples  de  M qui  ne  s’y  trouvent  qu’à  la  pre-* 
mière  puissance.  Désignons  aussi  par  L le  quotient 
M 
La  fonction  L ne  renfermera  que  des  facteurs  multiples, 
c’est-à-dire  que  chacun  de  ces  facteurs  simples  y sera  à 
la  seconde,  troisième,  quatrième  ou  une  plus  haute 
puissance. 
Mettant  à la  place  de  d/  la  valeur  qU  l’intégrale 
N 
f 
M 
dx 
deviendra 
/ 
N 
Jr: 
et  pour  qu’elle  soit  algébrique,  il  faut,  avant  tout,  que 
JY  soit  divisible  par  q,  c’est-à-dire  que  l’on  ait 
N ~ qK, 
