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Bulletin  physico  mathématique 
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K étant  une  fonction  entière,  ce  cj^ui  re'duira  la  fraction 
à inte'grer  à 
-^clx. 
La  condition  d’inte'grabilité  relative  au  de'nominateur  e'tant 
satisfaite,  puiscjue  L ne  renferme  que  des  facteurs  mul- 
tiples, on  trouvera  le  de'nominateur  de  l’intégrale 
1- 
dx 
en  cherchant  le  plus  grand  diviseur  commmi  aux  fonc- 
tions Z et  ^ , car  nous  avons  vu  que  ce  diviseur  est  le 
dénominateur  dont  il  s’agit.  Nous  le  désignerons  par  P. 
Puis,  pour  satisfaire  à la  seconde  conditio  a d’intégrahilité 
qui  se  rapporte  au  numérateur,  il  n’y  a qu’à  prendre, 
d’après  le  n°.  précédent, 
dQ'Y 
K — 
dx 
RA\ 
et  après  avoir  fait 
— Q'  -i  . — — Z . 
Quant  à la  quantité  X,  elle  est  une  fonction  entière  in- 
férieure en  degré  à P et  à coefficients  quelconques. 
Puis,  et  d’après  le  même  précédent  n°,  nous  aurons 
/I  = -f  ■ 
Connaissant  X on  aura  pour  le  numérateur  cherché  N 
la  valeur  suivante 
que  le  degré  de  cette  fonction  doit  être  plus  petit  que 
celui  de  P;  s£ms  quoi  le  degré  du  numérateur 
pourrait  surpasser  celui  du  dénominateur,  ce  que  nous 
ne  supposons  pas. 
Il  n’est  pas  inutile  de  faire  observer  que  le  diviseur 
P , commun  à Z et  — est  en  même  temps  le  plus  grand 
diviseur  commun  à M et  comme  on  peut  s’en  con- 
vaincre par  ce  qu’on  dit  sur  cet  objet  dans  la  théorie 
des  fonctions  entières.  Au  surplus,  on  s’en  persuadera  de 
la  manière  suivante.  Différencions  l’équation 
M-CjL-qQ'P, 
nous  aurons 
dM  
dx  dx  ' ^ dx 
ou  bien,  à cause  de 
Z — o'p,  ^ — P'P, 
dx 
dM  ^ ^ dq 
dx 
= (Ç'â-+  9")^ 
Or,  Q -j-  qR'  n’ayant  pas  de  facteurs  communs  ni  avec 
q ni  avec  Q',  le  diviseur  commun  à M et  ne 
' y7-r 
N 
_ fd.Q'X 
Ainsi,  quel  que  soit  le  dénominateur  M de  la  fraction 
N 
M ’ 
un  seul  cal  excepté,  en  faisant 
fd  . Q'X 
on  rendra  l’expression 
dx 
Ndx 
~w 
R 
-V)  , 
intégrable  algébriquement,  et  l’on  aura 
'd  . q'x 
pNdx  f ^ C 
J ~M  ~ J M 
dx 
— R'X'^ 
P 
Le  numérateur  de  la  fraction  intégrable 
c 
dQ'X 
dx 
RX 
■) 
M 
n’est  pas  entièrement  déterminé,  puisque  il  renferme  la 
fonction  X qu’on  peut  prendre  à volonté;  à cela  près 
peut  être  que  P 
F aisons 
dx 
M — QP 
dM 
dx 
- RP 
nous  aurons 
mais 
dq 
dx 
Q'  qR'  — R 
d-q  Q,  _ 
dx  ^ dx 
n 
^ dx 
donc 
et  partant  le  numérateur 
OU 
dX 
de  la  fraction  intégrable  alge'briquement  peut  être  mis 
sous  la  forme 
