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DE  l’Académie  de  Saint-Pétersbourg. 
i.Vi 
ou  sous  celle-ci 
dQX 
dx 
- RX. 
et  nous  aurons 
h 
d.QX 
dx 
-MX  A- 
- dx  ~ 
M 
P 
Nous  avons  dit  qu’il  y avait  un  cas  à excepter  dans 
ce  qu’on  vient  de  lire.  Ce  cas  est  celui  où  la  fonction 
A/ne  renfermerait  point  des  facteurs  miütiples,  ni  re'els  ni 
imaginaires.  Car  alors  devant  être  divisible  par  toute 
la  fonction  M et  e'tant  d’un  degré  inférieur  à celui  de  cette 
fonction,  ne  peut  être  que  zéro,  ce  qui  ferait  disparaître 
la  fraction  à intégrer.  Mais  toutes  les  fois  que  M ren- 
fermera des  facteurs  multiples,  il  sera  facile  de  trouver 
un  numérateur  N différent  de  zéro  qui  rendra  la  fraction 
M 
intégrable  algébriquement.  Il  n’y  aura  qu’à  chercher, 
d’après  ce  qui  précède  le  plus  grand  diviseur  P corn- 
imm  aux  fonctions  A/ et  et  les  quotients  Ç et  de 
la  division  de  ces  mêmes  fonctions  par  P,  puis  l’on  aura 
sur  le  champ 
N = ^ - RX 
dx 
et 
d.QX 
J 
dx 
RX 
M 
dx  ~ 
~P 
ce  qui  est  la  solution  la  plus  simple  de  la  question 
proposée. 
4.  Revenons  au  cas  où,  le  numérateur  N et  le  déno- 
minateur A/  étant  donnés,  il  s’agit  de  trouver  ou  plutôt 
de  réduire  autant  que  possible  l’intégrale 
dx. 
J 
JS 
Id 
Toute  réduction  serait  impossible  si  la  fonction  M et  sa 
dérivée  n’avaient  pas  des  facteurs  communs.  Nous 
admettrons  en  conséquence  qu’il  y ait  un  diviseur  P 
commun  à ces  deux  fonctions  et  nous  ferons 
M ~ QP 
^ — RP 
dx 
P et  Ç étant  des  fonctions  entières  sont  facteurs  com- 
muns. 
Si  A'  a\ait  la  forme 
d.  QX 
. dx 
- RX 
c’est-à-dire  si  l’on  pouvait  trouver  X tel  qu’on  ait  pu 
supposei- 
d.QX 
N — 
dx 
RX 
on  trouvei'ait  sur  le  champ 
N J X 
dx  ~ . 
M P 
Mais  il  est  impossible  que  iU  puisse  jamais  avoir  la  forme 
précédente,  car  d’abord  l’expression 
J 
d.QX 
dx 
— RX 
est  divisible  par  les  produits  de  tous  ces  facteurs  sim- 
ples de  M qui  ne  s’y  trouvent  qu’une  seule  fois;  il  faut 
donc  que  N soit  aussi  divisible  par  le  même  produit, 
ce  qui  ne  se  peut  puisque  A et  M ne  doivent  pas 
avoir  des  facteurs  communs.  Puis,  dans  le  cas  même  où 
A/ n’aurait  que  des  facteurs  multiples,  il  est  généralement 
impossible  que  l’expression 
d.QX 
dx 
— RX 
puisse  former  une  fonction  qui  ne  serait  assujettie  quà 
la  condition  de  l’infériorité  en  degré  à la  fonction  Ai, 
ce  qui  cependant  est  nécessaire  pour  l’intégrabilité  de  la 
fraction 
Ndx 
"AT’ 
quand  N n’est  limité  que  par  son  degré. 
Nous  avons  vu  dans  le  n^^  précédent  que  l’expression 
dQX 
dx 
— RX 
ou,  ce  qui  revient  au  même,  celle-ci 
est  divisible  par  le  produit  de  ces  facteurs  simples  de 
A/  qui  y sont  à la  première  puissance.  Mais  nous  allons 
y revenir. 
Comparant  les  deux  expressions  RP  et 
d.QP 
dx 
de 
dérivée  , nous  trouverons  d’abord 
^ dx 
dP 
puis,  désignons  par  Pj  le  plus  grand  diviseur  commun 
a Z'  et  et  supposant 
P - Q,P, 
— — Q P 
dx  — 
