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Bulletin  physico  mathématique 
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léquation  precedente  deviendra 
dx 
R 
')  ç,  = 
il  en  résrdie,  Çj  et  R^  edant  premiers  entre  eux,  que 
Q est  divisible  par  Soit  en  consécjuence 
O = <70*1 
il 
nous  V 
iendr; 
^ ^ 
et  par  suite 
d.Qx 
(A)- 
■()- 

dx  ' dx  \ 
Il  est  très  facile  à voir  que  q est  le  produit  des  facteurs 
simples  que  M ne  contient  qu’une  seule  fois.  On  trou- 
vera ce  produit,  ainsi  que  les  quantités  et  R^^  après 
a\oir  obtenu  et  7^.  Il  n’y  aura  qu’à  chercher  le  plus 
grand  diviseur  conimun  h.  Q et  R — car  q est  vi- 
siblement ce  même  diviseur  et  les  fonctions  et  R^  sont 
dQ 
'7- 
les  <|uotients  de  la  division  de  Q et  de  R 
Ne  pouvant  pas  supposer 
N 
_ 
dx 
RX 
tàis(jiis,  ce  c£ui  est  permis 
d . QX 
X — 
dx 
— RX  ^ U, 
U e'tant  une  fonction  entière,  nous  aurons 
(N  , X . , U 
Jnr‘‘^  =-p 
d.QX 
dx. 
Les  polynômes  X et 
dx 
J M 
— RX  e'tant  inférieurs  en 
degre'  au  polynôme  M,  il  faut  que  la  fonction  U le 
soit  aussi,  mais  avec  cette  seule  condition  l’inte'grale 
/ 
J M 
ne  serait  en  rien  plus  simple  que  l’inte'grale 
/ -w 
J M 
et  JKJUS  n'aurions  rien  gagne'  en  donnant  à la  dernière 
la  forme 
-?  + / 
U 
dn 
par 
P 'JM 
il  faut  donc  que  U satisfasse  à d’autres  conditions 
lesquelles  la  fraction 
U 
~M 
se  réduirait  autant  que  possible.  La  réduction  dont  il 
s’agit  aurait  lieu  si  M et  U avaient  des  facteurs  com- 
muns^ car  en  supprimant  ces  facteurs,  on  abaisserait  le 
degré  du  dénominateur,  ce  qui  serait  une  véritable  sim- 
plification, et  pour  peu  qu’on  y réllécbisse,  on  ne  tar- 
dera pas  à reconnaître  qu’outre  l’abaissement  tlont  il  s’a- 
git, il  n’y  a point  d’autres  moyens  propres  à réduire  la 
fraction 
U 
XT  ’ 
mais,  nous  le  répétons,  l’abaissement  du  degré  de  M 
est  une  simplification  très  notable,-  vu  que  la  difficulté 
de  lintégTation  d’une  fraction  rationnelle  tient  surtout 
à la  complication  de  son  dénominateur. 
Ainsi  à l’équation 
^ n\- 
RX  -t-  U 
d-QX 
X — - 
dx 
il  faut  ajouter  la  condition  que  les  fonctions  M et  U 
aient  un  facteur  commun.  Le  degré  et  la  forme  de 
ces  facteurs  doivent  être  tels  que  l’équation  dont  nous 
parlons,  puisse  avoir  lieu,  et  qu’en  même  tenqis  l’intégrale 
U 
f- 
M 
dx 
ne  soit  plus  susceptible  d’aucune  induction. 
La  condition  du  fac  teur  commun  aux  fonctions  M et 
d.QX 
U.  c’est-à-dire  aux  fonctions  M et  RX 
dx 
+ X 
doit  être  satisfaite  aux  dépens  tie  l’inconnue  AT,  car  les 
deux  autres  cpiantités  Q el  R sont  censées  déterminées 
par  ce  qu  précède. 
Désignons  par  Z le  facteur  dont  il  s’agit,  et  faisons 
M — HZ 
U — RX  — X — rz 
dx 
Il  est  clair  que  le  degré  tlu  facteur  Z doit  être  auss* 
élevé  que  le  permettra  l’inconnue  A,  car  plus  le  degré 
de  ce  facteur  est  élevé,  plus  la  fraction 
U _ Y 
~M  ~ ~H 
qui  reste  soumise  à l’intégration,  sera  simple. 
D’un  autre  côté  il  faudrait  que  la  fonction  H,  [quo' 
tient  de  M par  Z,  ne  renfermât  point  des  facteurs  mul- 
tiples; autrement  l’intégrale 
pourrait  se  réduire  à une  plus  simple. 
Nous  devons  donc  satisfaire  aux  deux  conditions  qu’or 
vient  de  poser. 
Or,  d’après  ce  qu’on  sait  sur  la  divisibilité  des  fonc- 
tions entières,  il  est  impossible  d’imposer,  généralement 
à l’expression 
RX  — -1-  X 
dx  ' 
