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DE  l’Academie  de  Saint-Pétersbourg. 
un  diviseur  Z d’un  degré  plus  élevé  que  celui  de  l’in- 
connue X augmenté  d’une  seule  unité.  Un  diviseur  moins 
élevé  ne  déterminerait  pas  entièrement  cette  inconnue 
et  ne  remplirait  pas  la  première  de  nos  deux  conditions; 
celui  qui  serait  plus  élevé,  pour  diviser  la  fonction 
RX  - ■+  N 
dx 
exigerait  des  conditions  qui  naturellement  seraient  très 
rarement  satisfaites,  car  la  fonction  dont  il  s agit  géné- 
ralement, n’est  pas  divisible  par  un  facteur  dont  le  degré 
surpasse  de  deux  ou  plusieurs  unités,  celui  de  X. 
Comme  il  est  de  notre  intérêt  que  la  fonction  Z 
soit  aussi  élevée  que  possible,  et  que  d’ailleurs  elle  doit 
diviser 
dQX 
RX 
dx 
+ 
sans  aucune  condition,  nous  ne  pouvons  que  la  suppo- 
ser de  même  degré  que  la  fonction  qui  est  le  plus 
grand  diviseur  commun  à M et  car  le  degré  de  ce 
diviseur  surpasse  d’une  seule  unité  celui  de  X. 
La  fonction  Z étant  du  même  degré  que  le  plus  grand 
diviseur  commun  à AI  et  à sa  dérivée  , et  de  plus 
le  quotient 
M 
~Z 
ne  devant  point  renfermer  des  facteurs  multiples,  il  s’en 
suit  que  Z ne  peut  être  que  ce  même  plus  grand  divi- 
seur  commun  a M et  savoir 
dx 
donc 
U - q {R,X  Q 
H — Q 
Y 
~Q 
V 
~M 
ist 
UOM 
M ~ P 
La  divisibilité  de  la  fonction 
dr 
>ar  P déterminant  complètement  AT,  déterminera  aussi 
; puisque 
_ (Ä.V-  ç,^)  + 
N. 
Ainsi  tout  se  réduit  à la  détermination  de  X par  la  con- 
dition que  la  valeur  précédente  de  Y est  une  fonction 
entière;  ou,  ce  c|ui  revient  au  même,  tout  se  réduit  à 
la  détermination,  à l’aide  de  l’équation 
"■=  V 
des  fonctions  entières  X et  Y dont  les  degrés  doivent’ 
être  respectivement  plus  petits  que  ceux  des  fonctions 
P et  Q.  Après  avoir  trouvé  X et  J , l’intégrale  jnopo- 
sée  se  réduira,  par  la  formule  (1),  à celle-ci 
qui  est  plus  simple. 
Il  se  pourrait,  dans  des  cas  très  particuliers,  que  Y et 
Ç eussent  des  facteurs  communs,  ce  qui  simplilîerait  la 
fraction 
F 
et  par  suite  l’intégiale 
Les  cas  dont  il  s’agit  sont  évidemment  ceux  où  l’on 
pourrait  imposer  à la  fonction 
9 9.  §)  + iv 
un  diviseur  plus  élevé  que  P.  Tous  ces  cas  rentrent 
évidemment  d’eux  même,  dans  la  théorie  générale  sans 
y amener  le  moindre  changement,  car  s’il  arrive  acci- 
dentellement que  la  fonction 
Y = 
A 
soit  divisible  par  quelques  facteurs  du  quotient 
- Q 
nous  le  saurions  après  qu’on  aura  trouvé  JL  puisqu’il 
n’y  aurait  qu’à  essayer  s’il  y a des  facteurs  communs  aux 
fonctions  connues  Y et  Q.  Il  est  cependant  important 
de  faire  observer  que  dans  le  cas  où  il  arriverait,  comme 
nous  l’avons  dit,  accidentellement,  que  la  fonction  Y 
fut  divisible  par  quelques  facteurs  de  Q ~ qQi-,  ces 
facteurs  ne  sauraient  jamais  être  ceux  de  q,  ils  appar- 
tiendraient nécessairement  à En  effet,  il  est  impos- 
sible que  Y soit  divisible  par  un  facteur  de  q sans  que 
^ 
et  par  suite  A ne  le  soit  par  le  même  facteur;  A et  A/ 
auraient  donc  des  facteurs  communs,  ce  qui  est  contraire 
à l’hypothèse  admise. 
