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Bulletin  physico- mathématique 
La  fonction  Y n’ëtant  pas  divisible  par  <7,  ne  peut  de- 
venir zéro,  à moins  que  q ne  soit  l’unité,  et  quand 
^ ~ 1,  la  quantité  Y à la  vérité  pourrait  devenir  zéro, 
mais  elle  le  deviendra  bien  rarement.  Le  cas  de 
J"  = 0 
est  celui  où  la  fraction 
iV 
s’intégre  algébriquement;  car  on  aura  dans  ce  cas 
La  fonction  Q étant  le  produit  de  tous  les  facteurs 
simples  de  M,  il  s’en  suit  que  tous  ces  facteurs  entre- 
ront, généralement  parlant,  dans  l’intégrale 
à laquelle  se  réduit  l’intégrale  proposée 
N 
r 
M 
da 
Ceux  des  facteurs  sinqdes  dont  il  s’agit  qui  ne  se  trou- 
vent dans  AJ  qu’une  seule  fois  et  dont  le  produit  re- 
présente la  lettre  q entreront  toujours,  coumie  nous  ve- 
nons de  le  voir,  dans  l’intégrale 
niais  les  autres  facteurs,  qui  se  trouvent  dans  AI  plus 
d’une  fois,  pourraient  ne  pas  y entrer,  en  partie  ou  meme 
en  totalité  ; ce  qui  arriveia  quand  et  Q auront  des 
diviseurs  communs,  ou  plutôt  quand  T'  sera  divisible  par 
ou  par  quelques-uns  de  ses  facteurs. 
5.  Occupons-nous  de  la  détermination  des  fonctions  X 
et  Y.  Aous  écrirons  indiÜéreniment  l’équation  qui  les 
détermine  sous  une  des  trois  formes  suivantes 
- 9 - Ç.  f ) = 
- - S) 
- RX  + “■ 
(2) 
PY 
PY 
PY 
N 
dx 
N 
dx 
N. 
Pour  la  détermination  dont  il  s’agit,  on  pourrait  employer 
la  méthode  des  coefficients  indéterminés.  Pour  cela  on 
mettrail,  dans  une  des  fornudes  (2),  un  polynôme  entier 
à la  place  de  et  un  autre  à la  place  île  T,  les  coef- 
ficients de  ces  polynômes  étant  indéterminés  et  leurs 
degrés  respectivement  égaux  à ceux  des  fonctions  P et 
Q diminués  d’uue  seule  unité.  On  disposerait  ensuite  le 
premier  membre  suivant  les  puissances  de  la  variable  in- 
dépendante X,  puis,  égalant  entre  eux  les  coefficients  des 
mêmes  puissances  de  cette  variable , dans  le  pi’emier  et 
dans  le  second  membre,  on  trouverait  autant  d’équations 
160 
qu’il  en  faudrait  pour  la  détermination  de  toutes  les  in- 
connues qui  sont  dans  les  polynômes  X et  Y.  Cette  mé- 
thode, dans  le  cas  où  le  degré  des  fonctions  AT  et  lése- 
rait un  peu  élevé,  deviendrait  pénible  à raison  du  grand 
nombre  de  coefficients  à déterminer.  A^ous  allons  en 
donner  une  autre  généralement  bien  plus  commode. 
On  voit  par  la  première  des  formules  (2)  que  l’ex- 
pression 
PY  — N 
est  divisible  par  q.  Désignons  par  r le  reste  de  la  di-' 
vision  de  Y par  q et  faisons 
la  formule  dont  il  s’agit  deviendra,  après  l’avoir  divisée 
par  q 
R^X  + Çj  N-  Pr 
y« 
D 
i:0l 
PY, 
dx  q 
Le  reste  r doit  être  déterminé,  et  le  sera  toujours,  par  la 
condition  de  la  divisibilité  de  N — Pr  par  q.  Sup- 
posons 
N — Pr 
— N' 
nous  aurons 
dX 
- N' 
pr,  - R,x  + (?, 
1 
Cette  équation,  aux  inconnues  X et  Y^,  est  un  peu  plus 
P 101 
simple  que  l’équation  primitive,  c’est-à-dire  qu’une  des! 
formules  (2).  D’ailleurs  l’inconnue  JTj,  est  d’un  plus  petit 
degré  que  celui  de  Y,  ainsi  par  une  première  transfor- 
mation qui  consiste  principalement  dans  la  déterminatioù 
du  reste  r,  la  question  à résoudre  est  simplifiée. 
En  divisant  la  dernière  équation  par  multiplian'' 
par  dx  et  intégrant  nous  aurons,  vu  que 
PQ, 
dx  ~ 
P 
dx 
N' 
PQ,  - — P ' J Q, 
ce  qui  nous  montre  une  réduction  de  l’intégrale 
j-  N' 
PQi 
dx 
DOU! 
réduction  semblable  à celle  qui  a lieu  pour  l’intégrall 
de  la  fraction  proposée. 
Il  est  à remarquer  que  le  dénominateur  de  cette  der' 
nière  fraction  ne  diffère  du  dénominateur  PQ^  que  pa 
ce  qu’il  manque  à celui-ci  le  produit  q de  tous  les  fac 
teurs  simples  qui  se  trouvent  dans  M une  seule  foi; 
PQj  ne  renferme  donc  que  des  facteurs  multiples,  aim 
le  dénominateur  de  la  fraction  1 
