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DE  l’Académie  de  Saint-Pétersbourg. 
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N' 
ealisfait  à la  condition  d’intëgrabilité  algébrique,  mais  son 
numérateur  n’y  satisfait  pas,  à moins  que  ne  soit 
zéro.  Il  en  résulte  que  l’intégrale 
N' 
f 
dx 
ne  fait  que  de  se  réduire  à celle-ci 
I 
Ql 
dx 
Pour  opérer  effectivement  la  réduction  dont  il  s’agit, 
il  faudrait  trouver  X et  J j , ce  qui  nous  conduirait  en 
même  temps  à la  réduction  de  l’intégrale  proposée,  car 
ce  qui  manquerait  à cette  dernière  serait  la  fonction  L 5 
or  nous  avons 
r = -f  /•• 
Mais  la  réduction  de  l’intégrale 
/ 
'^ï 
dx 
dX 
dépend  de  l’équation 
Pï\  - R,X  + Ç.  = N' 
qui  est  une  première  transformée  des  formules  (2),  ainsi 
nous  n’avons  qu’à  continuer  à traiter  ces  formules  dans 
leur  transformée  précédente,  sans  quil  soit  besoin  de 
nous  arrêter  à l’intégrale 
/ 
N' 
dx 
dont  nous  n’avons  parlé  qu’en  passant. 
La  fonction  P étant  divisible  par  l’équation 
Pl\  - P^X+Q,^-  N' 
nous  montre  que 
R,X  -f  N' 
doit  l’être  également;  si  donc  nous  faisons 
AT  - -f  ç 
l’expression 
N' 
le  sera  aussi,  X^  et  q étant  le  quotient  et  ]e  reste  de  la 
division  de  X par  Çj.  En  substituant  la  valeur  précé- 
dente de  X et  divisant  par  Çp  l’équation 
Pl\  - R,X+  = N' 
deviendra 
P J-  — (r—^\  x^-\-  ± 
^ V ^ dx  J ^ dx  Qj  dx 
La  quantité  q doit  être  déterminée  par  la  condition  de 
divisibilité  de 
R^q  -1-  N' 
par  Çj,  condition  suffisante  pour  cet  objet. 
Supposons,  pour  abréger 
4 _ „ 
dx  — » 
ou  bien,  en  remplaçant  N'  par  sa  valeur 
N — Pr 
(3) 
_ iV  -{-  qR^ç  — PiQir 
nous  aurons  l’équation 
P. Y.  — ( R.  — 
4 
dx 
dX^ 
N. 
qu’on  peut  aussi  écrire  ainsi  qu’il  suit 
dQ,X^ 
P,Y,  - R,X,  + 
dx 
-N, 
Les  deux  formes  de  cette  équation  sont  analogues  aux 
deux  dernières  des  formules  (2).  Il  est  très  facile  de  don- 
ner à la  même  équation  une  forme  semblable  à la  pre- 
mière de  ces  formules.  En  effet,  comparant  entre  elles 
les  deux  expressions  RyPy  et  de  la  dérivée  ^ , 
nous  trouverons 
O — ^ 
^ dQi  dx 
^ dx  P 
dp 
nous  en  concluons  que  est  divisible  par  P Dé- 
dx 
signant  par  P^  le  plus  grand  diviseur  commun  à et 
, faisons 
dx 
P,  - Q,P, 
^ — R P 
dx  — 2 2 
ce  qui  nous  donnera 
dQi  __  ^ * dx  R2  Qi 
dx 
■ P.  ~ Q. 
et  nous  y voyons  que  est  divisible  qar  Q^. 
conséquence 
Qi  = <jiQz 
il  en  résultera 
et  nous  aurons  ensuite 
■P.r.  - ?,  {r,x, 
Soit 
en 
Ainsi  1^  seconde  transformée  est,  comme  l’équation  pri- 
mitive, susceptible  de  ces  trois  formes 
dX, 
c.r.  - - ç,  fi) 
N, 
P Y 
