163 
Bulletin  physico-mathématique 
164 
En  multipliant  la  première  de  ces  formules  par 
nous  aurons 
N^dx  _ V2 
dx 
~P 
-Pi«?,  V. 
puis,  intégrant  et  remarquant  que 
dXy^ 
r Ç2  ^2-^1  dt'  — 
J ' wn  P 
PAh  P. 
N,  , X,  , 
ü viendra 
Ainsi  les  équations  (4-),  après  qu’on  en  aura  tiré  et 
Tj,  fourniront  la  réduction  de  l’intégrale 
à celle-ci 
et  l’on  parviendrait  à ces  mêmes  équations  (4-)  en  trai- 
tant l’intégrale 
comme  on  avait  traité  l’intégrale  proposée. 
Par  l’effet  de  deux  transformations,  l’intégra*e 
'iV 
y 
M 
dx 
est  changée  en 
y?«'- 
où  il  manque  au  dénominateur  le  produit  Qj  de  tous 
les  facteurs  simples  de  A/,  pris  chacun  une  seule  fois. 
Il  y a à remarquer  que  la  première  transformation  a fait 
s’en  aller  le  produit  q de  ces  facteurs  simples  qui  ne  se 
trouvent  dans  M qu’une  fois,  et  la  seconde  transformation 
a enlevé  le  produit  des  facteurs  multiples  de  A/ pris 
chacun  une  fois. 
Il  est  clair  que  par  deux  transformations  analogues 
appliquées  à l’intégrale 
/ 
dx 
on  ferait  partir  le  produit  de  tous  les  facteurs  sim- 
ples de  P pris  chacun  une  fois,  et  comme  tout-à-l’heure 
il  s’en  irait  d’abord  le  produit  puis  le  produit  Q^. 
Mais  comme  l’essentiel  est  de  trouver  Aj  et  puisque 
X et  Y s’en  suivent,  nous  continuerons  à traiter  les  équa- 
tions (4-)  sans  nous  arrêter  aux  intégrales  dont  la  réduc- 
tion dépend  des  différentes  transformées  de  ces  mêmes 
quations. 
Ayant  été  conduit  à supposer 
(5)  {P  — ^ 
A = Ç,A,  -I-  ç 
faisons  de  même,  puisque  les  circonstances  sont  analogues, 
/ßN  “H  ^’1 
A,=Q4A,+  ç, 
Y^  et  A2,  étant  les  quotients  et  Tj  , les  restes  de  la 
division  de  Tj  et  A^  par  q^  et  Q^. 
En  substituant  ces  valeurs  dans  les  équations  (4)  et 
faisant  pour  abréger 
Al  -j-  qiRjÇi  Q2^2'’i  — jy 
^ y n.n.  dx  * 
îiQa 
dQ2 
nous  trouverons 
ou  bien 
p,r,  - R,X,  + = N,. 
Les  restes  et  Çj  doivent  être  déterminés  par  la  con- 
dition que  la  fonction 
iVi  -f-  <7i-^2?i  Q2P2’ i 
soit  divisible  par  le  produit  qiQy 
L’équation  entre  A^  et  que  nous  venons  de  trou- 
ver, est  susceptible  de  recevoir  la  troisième  forme  comme 
les  équations  (2)  et  (4)  d’où  elle  dérive.  En  effet,  re- 
prenons les  équations 
P,  - 
— Pt  P 
dx  — ^ * 
et  différencions  en  la  seconde,  nous  aurons 
dP, 
dx 
dx 
d’où 
R. 
^2 
dx 
Q 
^2  dx 
dPn 
nous  en  concluons  que  doit  être  divisible  par 
P^.  Désignons  par  P^  le  plus  grand  diviseur  commun  à 
P„  et  et  faisons 
dx 
il  s’en  suivra 
P,  = Q,P, 
dPz  — up 
dx  - ^ ^ 
n dQ^  
2 dx  ~ Q. 
