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DE  l’Académie  de  Saint-Pétersbourg. 
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Çg  et  jffg  e'iant  sans  facteur  commun,  il  est  ne'cessaire  que 
Çj  soit  divisible  par  5 en  de'signant  par  le  quotient 
de  cette  division,  nous  aurons 
Qz  = (jzQz 
et 
^Qz  n 
- ^2^3 
par  suite  l’equation  qui  doit  de'terminer  ^ et  5 est 
susceptible  de  ces  trois  formes 
dX^ 
^z^z  — ^z^z^z  + 
dx 
~^z 
dX„ 
(8)  + 
P Y 
-i  2 -*  2 
Qz^2  _ jy 
^Z^Z  + — -2 
Faisant  comme  pour  les  e'quations  (2)  et  (7) 
m')  ^2  — ^z^z  4-  '’2 
^ ^ ^2  = Ç34;  -f-  ?2 
nous  obtiendrons  une  transfonne'e  en  et  Y^  suscep- 
tible de  trois  formes  analogues  avec  (8),  c’est-à-dire 
nous  trouverons 
= iV, 
(10)  />3r3-(/Î3-^)j',+  = 
=A'3 
après  avoir  fait  pour  abre'ger 
(H) 
^2  _ 
..  - 
^Z  ~l~  ?2^3P2 Qz^Z^Z 
“JzQz 
Les  quantités  et  doivent  être  déterminées  par  la 
condition  que  la  fonction 
^Z  + <72^6?2  — Qz^Z^Z 
est  divisible  par  le  produit  cj^Q^ 
En  continuant  de  la  même  manière,  on  arrivera,  après 
i transformations,  à une  équation  qui  contiendra  X-  et 
Yi  et  qui  sera  susceptible  de  ces  trois  formes 
dXi 
dx 
dX 
(12)  ^.iV, 
.PiYi  — BiXi  -t- 
Qi^i  — 
dx 
Ni, 
Avant  d’arriver  à cette  équation,  on  a supposé 
n;  Yi  -j-  r/_j 
/|o-\  l^i-y  — QiNi  -f-  Ç/_i 
^ ^ -{-  — _ dp/_i  _ 
rs.  dx  ~~  ^ • 
et  on  a déterminé  ç;_j  et  r,-_j  par  la  condition  que  la 
fonction 
Ni^i  + V'-i — QiPf'i_i 
est  divisible  par  le  produit  qi_^Qi- 
En  mettant  la  première  des  équations  (12),  après  l’a- 
voir divisée  par  P,_j,  sous  la  forme 
Ni  _ 
- 
Qi+,Pi  + Qi 
multipliant  par  dx  et  intégrant  nous  trouverons 
et  nous  en  concluerons  que  l’équation  (12)  renferme  la 
réduction  de  l’intégrale 
T, 
J 
à celle-ci 
P/-1 
fî 
dx 
Qi 
dPi 
Supposons  que  la  fonction  Pi  et  la  dérivée  ne 
possèdent  aucun  facteur  commun.  Cette  supposition  est 
toujours  permise,  car  en  prolongeant  suffisamment  la  série 
P P P P 
1’  V 3 
dM 
des  plus  grands  diviseurs  communs  à M et  à P et 
à P,  et  à P,  et  etc.,  il  est  manifeste  qu’on 
dx  '■  dx  ^ dx 
arrivera  à un  diviseur  P/  qui  ne  renfermera  point  des 
facteurs  multiples,  sera  par  conséquent  premier  avec  sa 
dérivée  , partant  le  diviseur  suivant  Pî+j  sera  1 u- 
dx 
nité.  Or  comme 
Pi  = Ç;+,i>/+, 
dx 
d-P;  — D p. 
nous  aurons 
Qi+i  — 
P 
dPi 
dx 
et  par  suite,  la  première  des  équations  (12)  deviendra 
PiYi  - m g-  + ,.p,-  ^ = Ni 
dX; 
dx 
d’où 
(H) 
Yi  - 
Xi  + ?,■  Xi 
Pi 
dXi 
la  fonction  JT;  doit  être  déterminée  de  manière  que 
l’expression 
