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DE  l’Académie  de  Saint-Pétersbourg. 
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être  plus  petit  que  celui  du  diviseur  A.  On  pourrait 
employer  pour  cet  objet  la  méthode  des  coefficients  in  - 
détei’minés.  En  conséquence,  on  remplacera  Z par  une 
fonction  entière 
ax"  -j-  hx^~^  -f-  dx^~^ 
à coefficients  inconnus,  n -f-  1 étant  le  degré  du  divi- 
seur A\  puis , après  avoir  développé  suivant  les  puissan- 
ces de  a?,  l’expression 
B {ax^  -j-  bx”^~^  -j-  cx'^~^  -f-  dx^~^  -j-  6’, 
I on  la  divisera  par  A jusqu’à  ce  qu’on  arrive  à un  reste 
f inférieur  en  degré  au  diviseur.  En  y égalant  séparément 
■ à zéro  les  coefficients  de  toutes  les  puissances  de  x,  on 
obtiendra  autant  d’équations  qu’il  en  faudra  pour  trouver 
toutes  les  inconnues  a,  Z>,  c,  d,  etc. 
pas  de  diviseur  commun.  Nous  piajposons  tie  les  désig- 
ner sous  le  nom  de  divisions  snccessites. 
Des  équations  que  nous  t enons  de  poser,  on  tirera  sur 
le  champ 
I 
T = + 
1ï  -¥  : 
?3  + 
Ÿ4  + 
'/5  + /'s 
Ÿ6  + • 
On  peut  aussi,  en  faisant 
Bz  -{■  C 
ou 
Au  — Bz  ~ C 
prendre  pour  Z et  pour  u des  polynômes  entiers,  dont 
on  déterminera  les  coefficients  par  la  comparaison  des 
termes  affectés  des  mêmes  puissances  de  x.  Mais  le 
moyen  le  plus  simple  serait  peut-être  l’emploi  des  frac- 
tions continues.  Pour  cela,  il  faut  commencer  par  conver- 
tir en  fraction  de  cette  espèce  celle  des  deux  quantités 
B A 
~Â  ~B 
dont  le  numérateur  surpasse  en  degré  le  dénominateur. 
Admettant  que  la  fraction 
A 
jouit  de  cette  propriété,  posons  successivement 
/ l^i-^ 
fi,B 
<«3^1 
/«4^2 
- 
= 72^1  + ^2 
^ 73^2  "1*  -^3 
= 74^3  + -4 
QcZ. 
7d 
l^i-2 
H-i  ■^/_2  — 7'^'-i 
les  quantités  q sont  les  quotients,  et  les  z les  restes  des 
divisions  successives  les  premières  n’ayant  rien  de  com- 
mun avec  les  quantités  q ci-dessus  employées.  Quant  aux 
nombres  [x,  ils  représentent  les  facteurs  employés  pour  la 
commodité  de  ces  divisions  que  l'on  a continuées  jusqu’à 
ce  qu’on  soit  arrivé  à un  reste  zi  égale  à zéro. 
Les  divisions  dont  il  s’agit,  par  leur  fréquent  usage, 
mériteraient  une  dénomination  particulière.  On  les  ap 
pelle  à la  vérité  l’opération  qui  sert  à trouver  le  plus 
grand  commun  diviseur,  ce  qui  n’est  pas  un  nom  et  sou- 
vent ne  convient  pas , puisqu’on  est  assuré  qu’il  n’y  a 
Faisons 
-B  — _j ü? 
Q«  " ^ H 4- 
4"  1 
‘h 
<73  + 
^4  4- 
‘ih  4" 
-4- 
1 
7«  1 d 
‘Jn 
nous  aurons 
ou  bien 
B 
Pi  ~ A 
Qi  - B. 
D’un  autre  côté,  levenant  de  la  fraction  continue  à 
la  fraction  ordinaire,  on  trouvera  évidemment  un  résul- 
tat de  la  forme 
4~  n 
Çh  A-  Pu 
OU  les  quantités  jT„,  et  ne  renferment  pas  la 
lettre  En  diminuant  n de  l'unité,  nous  aurons 
I ~f  in 
U 
ni 
d’où,  en  remplaçant  q,i_^  par  qn-i  -j“ 
(At  l7»  1 ~1~  ?»  4~  '^H-  l7tt4~ 
P 
en  comparant  la  dernière  valeur  fitî  a\ec  celle-ci 
