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DE  l’Académie  de  Saint-Pétersbourg. 
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c ^ Bz  _ (_  ly  - BQ) 
A — 
3'“4  • • • ■"/ 
mais  si  la  puissance  de  B surpasse  celle  de  on  divi- 
sera alors  par  A^  et  en  désignant  par  Q et  ^ 
le  quotient  et  le  reste  de  cette  division,  on  fei'a 
(—  ty+ij? 
/^2^3^4  • • • /'/ 
C Bz  (-  \y+^{CPi_t^  - BQ) 
• /'/ 
; 10.  Appliquons  la  théorie  précédente  à un  exemple. 
I Soit  proposée  à intégrer  la  fraction 
' r (x*  — 2i)dx 
J x^(x  1)  {x^  X -{•  i)* 
i Nous  avons 
M zz  (x  4-  1)  (^2  4-  X 4-  1)^ 
^ ZZ  (^o:^(j?^4-a:4-  1)4- 3(j?4-  I)(x24-x4-l) 
i-æ  (pc  i)  (2x  l)j  (x^  4"  “t"  1)^ 
Nous  en  tirons  le  plus  grand  diviseur  commun  h M et 
dM 
dx 
, savoir 
P — 3c^  {x"^  it  1)®,  d’où 
M 
Q — -p~  oc  {x  ^ \)  {x"^  X 4-1) 
— x^  x^  X 
^ — 5x2  ^ 3^  q_  I 
<7t 
2x  + 
X 
le  plus  grand  diviseur  commun  à et 
x\  donc 
q^  — x 
Q,—^—X^+æ+\ 
V2 
^3  = 
R, 
dx 
et  comme 
% 
P dQ^ 
3 clx 
2 X -j-  I 
dM 
^ — X (x2  4-  X 4-  1)  4-  3 (x  4- 1)  (x2  4-  X 4-  1) 
-f  4x  (x  -f  1)  (2x  ,-f-  1) 
ê = (■>'+  ')  + 2) 
puis,  on  trouvera  le  plus  grand  diviseur  commun  à Q et 
R 
donc 
dx 
, savoir 
^ =r  X 4-  1 
Qi  z::  zi:  X®  -|-  x2  4-  X 
^i  = 
dx  _ 8x2  4-  5x  4-  2 
^i 
= 5x2  4-  3x  4-  1 
1 n’y  a pas  de  diviseur  commun  à et  R^  — 
lonc 
qi  - 1 
nous  avons  i ~ 2,  et  l’équation  à résoudre  deviendra 
X* — 24-(x4-1)(8x2-|-5x4-2) 
4-  (x2  4-  X-2  4-  x)  (x  4-  \) 
(^(5x2  4-3x4-1)ç,— 
(x24-x24-x)2(x24-x4“l)d  — 4~  (x®  4*  x2  4“  x)2  (x  4"  1) 
(x(2x+l)V,_^) 
(x2-[-x24-x)2(x24-  X-4-i).r 
(-+'  ) $ 
(-■+  = 
-(-+•)  Ä 
et  en  faisant 
- 24-(.r-f- 1 ) (8x24-3.r-|-2) 
x3_f-x2-|-x 
iV],4-(.î^-+-i)(ox2-f-5T4-i  )pi 
x3q-x2-j-x 
nous  trouverons 
Y — 1)  (2t-}-1)^2  , 2 I ^^"^2 
^ ~ 3-  • 
Il  est  facile  de  voir  que  jV, — 1 doit  être  divisible  par 
X 4*  1 5 en  supposant  en  conséquance 
iVj  rz  (x  4-  1)  iC  4-  1 
on  verra  avec  facilité  que  iV^  4"  ^ aussi  divisible 
par  X + É on  pourra  donc  faire 
N^-{xJr  1)  - 1 
et  l’on  ne  tardera  pas  à reconnaître  c^ue  -F  -|-  1 est  éga- 
lement divisible  par  x 1,  ainsi 
r - (^  4-  1)  r,  ~ 1 ^ 
en  substituant  ces  valeurs,  les  équations  à résoudre  de- 
viendront 
Ox 
