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Bulletin  physico- mathématique 
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den  von  Euler  in  den  fnst.  calc.  int.  aufeestellten 
Beispielen  ■wesentlich  erleichtert  und  ge'whnnt  ein  mehr 
methodisches  Ansehn.  Dahin  gehört  z.  ß.  das  55te  Pro- 
hlem  (S.  207  des  ersten  Bandes),  in  welchem  die  Inte- 
gration der  Gleichung  jdj  -f-  bx  -|-  nxx)  dj  ~ 
j (c  -f-  iix)  dx  gefordert  und  durch  eine  Snhslitution  ge- 
leistet wird,  von  welcher  Euler  am  Schlüsse  seihst 
sagt;  Casu  aiitem  hie  vix  praevidendo  evenil.,  ut  haec 
substilutio  ad  Votum  successerit^  neque  hoc  proldenia  tna- 
gnopere  juvabü.  Diese  Gleichung  ist  neuerlich  von  Ja- 
cohi  im  24sten  Bande  des  Grelleschen  Journals  in  er- 
weiterter Gestalt  behandelt  worden;  aher  durch  Aufsu- 
chung und  Benutzung  particularer  Integrale  lässt  sich 
ihre  Inteeration  noch  sehr  vereinlachen. 
O 
Es  seien  i\l  und  N zwei  ganze  Polynome  in  jy,  deren 
Coefticienten  heliehige  Functionen  von  x , und  AJdx  -(- 
Ndj  ~ o die  vorgelegte  Gleichung,  liai  man  eine  ge- 
wisse Anzahl  (/t)  particularer  Integrale  dieser  Gleichung, 
nämlich  Werthe 
von  M und  A^,  welche  sich  durch  Einsetzung  von 
für  y ergehen,  so  ist  Mplx  -j-  J\\dj^  ~ 0,  AJ.^dx 
-f-  ^ — h,  u.  s.  f.  Die  Benutzung  dieser  paiticula- 
ren  Integrale  gieht  nun  zu  mancherlei  Iransformationen 
der  Gleichung  Gelegenheit,  unter  welchen  ich  die  fol- 
gende hervox’hebe.  Man  bilde  das  Product  Ify  ~{y  — ji) 
{j — . ...  (j-  — Jfi)’’  erhält  man  durch  Zerle- 
M 
giing  m einfache  Brüche;  — ~ G -j- 
M, 
rjiCr-j,  ) 
-t-' 
^ + 
M, 
, ü.  - H j-  ^ 
^'y-ykr-y-td 
N . 
^ : ; G und  H bedeuten  die  in  den  Qno- 
tienten  enthaltenen  ganzen  Functionen  von  j.  Bemerkt 
xnan  noch,  dass  Al^dx  ~ — - 
gieht  sich 
M.U+My  _ 
T j -r  ryiCy-y>  ^ 
Yy 
J^/ji^Kr—yu)  _ 
0. 
Durch  diese  Translörtnation  wiyd  die  Gleichung 
iyl  -[-  By  -j-  dx  -f-  dy  ~ 0,  WO  ß,  C helie- 
hige EAinctionen  von  a:,  sofort  integrahel,  wenn  zwei 
particulare  Integrale  derselben  gegeben  sind;  da  nämlich 
N — Tj  — — jJ  (j —j.J,  ti  — Q,  G ~ C, 
so  verwandelt  sich  die  Gleiçhung  in  Çdx  -P  
+ 
+ 
(^iy—y^ 
(f(y-y\) 
0,  oder  in  C — y^)  dx 
y\)dx 
y—y\ 
+ Const,  das  Integial  ist. 
teÖ  = 0,  wovon  e 
y-y%  /-y\ 
Die  vorstehende  Gleichung  lässt  sich,  wie  leicht  zu 
sehen,  auf  die  Form  dy  -f- ( X)  dx  — 0 zurück- 
führen, von  welcher  Euler  {Inst  I.  S.  383)  zeigt,  wie 
schon  aus  einem  einzigen  particularen  ihr  vollständiges 
Integral  gefunden  werden  kann.  Wenn  nämlich  der 
Werth  y^  von  y der  Gleichung  genügt,  so  ist  dy  -f- 
y'hix  — dyj  -f  jhV/a-,  oderr/(j- (jy  (j+jJr/x 
~ 0.  Dividirt  man  diese  Gleichung  mit  (y  — 
\ 
setzt zz  z,  so  kommt:  dz  ~2r.zdx  — dx.  mit- 
y-y\  • * 
hin  durch  Integration  dieser  linearen  Gleichung:  ^ — — - — 
y-yi 
-Aus  diesem  schönen  Eulerschen  Resultate  kann  das 
Obige  leicht  abgeleitet  werden;  denn  es  folgt  daraus 
zuerst  _p  ( y -)-  yj  r/x  n 0 , mithin 
y 
{y — ’d  l)  ^ khkyO  — (^onst.  ~ a;  und  eben  so,  wenn 
^2  ein  zw  eites  parliculares  Integral,  (y — y^)  e 
ZZ  folglich  wenn  e Yveggeschadlt 
wird , 
y—yy  „/Gy—y-ßdx 
ZZ  Const.  Was  man 
y—yi 
daher  in  diesem  Falle  durch  die  angegebene  Transfor- 
mation erlangt,  kommt  an  Werth  dem  Eulerschen  Re- 
sullate  nicht  gleich. 
Bezeichnet  man  durch  Mdx  -j-  Xdy  zz  0 die  von 
Jacohi  in  Crelle’s  Journal  hehanrlelte  Gleichung,  so 
ist  3/  zu  C -|-  C’.z’  -J-  L y — -|-  -(-  y/  y, 
X = (J  + ^ — (B  k k'x  -t- Vy) 
Man  genügt  dieser  Gleichung  durch  die  Annahme  y — n.r 
-)-  ß,  wenn  a,  und  ß nach  folgenden  Bedingungen  be- 
stimmt werden:  {X  ^"ß)  ß y {ß B" ß)  « ~ C -|-  C" ß. 
-b  yfoß  ß {ß'  y.  ifa)  (x—Cy-  C"a.  Hieraus 
erhält  mau  für  a eine  Gleichung  dritten  Giades;  es  seien 
ßj  «2  Wurzeln  und  ß^  ß^  ß.^  die  ents[)rechen- 
den  Werthe  von  ß,  so  hat  man  drei  particulare  Integrale 
/i  a^x  y-  /îj,  J2  = «2'*’  + ß'l^.Vs  — «3-^-  + /^3’ 
1st  w'ieder  Yy  zz  (y — yj  {y'—yß)  {y  ^Ts),  so  konniit; 
Mdxy-Ndy XyHy—yy  \ N.yly—yy  , Nyl{y—y^) 
^y 
^'yi[y-yi)  ^y^iy-y^) 
Es  lässt  sich  fast  ohne  alle  Rechnung  zeigen,  dass  die 
N. 
Quotienten 
^ ^yi 
ö, 
iv. 
<l 
constant 
V Y'j^  — Y'y^- 
sind.  Es  ist  nämlich  zz  {xJ  4-  /'x  -j-  xl'yß)  x 
-{.By-  ß'x  -f  ß''yß)  — yr  4-  xfay  x^  y.  ...  . 
I ein  Polynom  in  x \ om  zweiten  Gilide.  Eben  so  ist  auch 
I 'F)'i  ~ (yi  ^^2)  (kl  — As)  ifolynom  zweiten  Gra- 
' des.  Bezeichnet  man  den  Weith  von  x,  für  welchen 
