. ff  196.  BULLETIN  Tome  IX. 
J\?  h. 
DE 
LA  CLASSE  PHYSICO-MATHÉMATIQUE 
DE 
L’ACADÉMIE  IMPÉKIALE  DES  SCIENCES 
DE  SAUT-  PÉTERSUOIIK6. 
Ce  Recueil  parait  irrégulièrement,  par  feuilles  détachées  dont  vingt-quatre  forment  un  volume.  Les  abonnés  recevront  avec  le  dernier  numéro 
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SOMMAIRE.  NOTES.  1.  Sur  la,  théorie  des  parallèles.  Bocniakovsky.  2.  Sur  le  puits  artésien  dans  la  batterie  occidentale 
près  Rêvai.  Helmersen.  BULLETIN  DES  SÉANCES.  CHRONIQUE  DU  PERSONNEL. 
1T  O T B S. 
1.  Note  sur  la  Théorie  des  parallèles  et  sur 
d’autres  points  fondamentaux  de  la  Géo- 
métrie élémentaire;  par  M.  BOONIAKÖVSKY. 
(Lu  le  16  août  1850.) 
(Avec  une  planche.) 
M.  Schultén,  Professeur  à l’Université  de  Helsingfors, 
vient  de  publier  une  note  sous  le  titre:  Déduction  de  la  théorie 
des  parallèles  d'un  principe  nouveau  l).  Comme  ce  principe 
donne  lieu  à certaines  remarques,  nous  allons  l'analyser,  et 
exposer  en  même  temps  quelques  idées  sur  les  vérités  fonda- 
mentales de  la  Géométrie  élémentaire. 
M.  Schultén  fonde  sa  démonstration  sur  une  proposition 
dont  l’évidence  lui  parait  comparable  à celle  de  quelques 
axiomes  géométriques  incontestables,  comme  par  exemple  de 
celui  qu'une  ligne  droite  contenue  dans  une  figure  plane  fermée, 
rencontrera  nécessairement  son  contour , ou  bien  de  cet  autre: 
qu'une  ligne  droite  limitée  est  plus  courte  qu'un  arc  de  cercle  com- 
pris entre  les  mêmes  limites.  Voici,  en  propres  termes,  l’énoncé 
de  la  vérité  géométrique  qui  a servi  à M.  Schultén  de  point 
de  départ  dans  sa  démonstration  de  la  théorie  des  parallèles: 
il  Un  cercle  c étant  décrit  du  rayon  r,  et  un  autre  C 2)  de  celui 
de  2 r,  on  aura  e.  c )>  C , en  prenant  pour  e un  entier  arbitraire 
1)  Acta  Societatis  scienliarum  Fennicae.  Tomi  tertii,  Fasciculus  1, 
pag.  351  ; 1849. 
2)  L’auteur  entend  par  c et  C les  surfaces  des  cercles  respective- 
ment décrits  avec  les  rayons  r et  2r. 
aussi  grand  qu'on  voudra  (p.  ex.  1000,  10001OuO  etc.),  mais  d'une 
valeur  déterminée  et  indépendante  de  la  grandeur  du  cercle  c.» 
En  partant  de  ce  principe,  et  s’appuyant  de  plus  sur  les 
propositions  15-me  (3-me  Livre  d esÉléments  d' Euclide)  et  20-me 
(1-er  Livre),  M.  Schultén  parvient  à démontrer,  d’une  ma- 
nière très  ingénieuse,  la  propriété  caractéristique  dans  la 
théorie  des  parallèles,  relative  à la  rencontre  des  obliques 
avec  les  perpendiculaires.  Nos  objections  ne  porteront  point 
sur  la  démonstration  proprement  dite,  qui  est  rigoureuse, 
mais  sur  le  principe  dont  l’Auteur  fait  usage.  Et  d’abord, 
nous  observerons  que  la  considération  des  surfaces  de  cercles 
dans  la  question  des  parallèles  ne  nous  semble  pas  naturelle, 
et  pourrait  nuire  à une  exposition  systématique  des  éléments 
de  Géométrie;  mais  nous  n’insistons  pas  1;\ -dessus,  d’autant 
plus  qu’il  serait  peut-être  impossible  de  déduire  la  théorie 
des  parallèles  sans  faire  usage,  d’une  manière  ou  d’une  autre, 
de  quelques  notions  préliminaires  sur  les  courbes  en  général; 
en  effet,  pour  le  succès  de  toute  méthode,  il  faudrait,  avant 
tout,  poser  une  différence  caractéristique  entre  une  droite  et 
les  courbes,  ce  qui  conduirait  nécessairement  à quelques  dé- 
tails sur  cette  dernière  espèce  de  lignes.  C’est  donc  le  prin- 
cipe ou  le  nouvel  axiome  qui  donne  lieu  à des  objections  sé- 
rieuses que  nous  allons  exposer. 
Affirmer  que  le  rapport  de  la  surface  d’un  cercle  décrit  du 
rayon  2r  à celle  du  cercle  du  rayon  r est  une  quantité  indé- 
pendante de  r,  c’est  exclure,  sans  que  rien  n’y  autorise,  une 
infinité  de  courbes  dont  les  surfaces  pourraient  fort  bien  ne 
pas  jouir  de  la  propriété  que  l’Auteur  trouve  si  évidente  pour 
le  cercle.  En  effet,  supposons  que  nous  ayons  une  courbe 
dont  le  paramètre  unique  soit  r;  construisons  la  même  courbe 
