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lIiallefâBï  pïiysfco  » mathématique 
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pour  le  paramètre  2r.  Aurons  nous  le  droit  de  dire  cjue  le 
rapport  des  deux  surfaces  de  ces  courbes,  limitées  de  la  même 
manière,  n’excédera  pas  un  nombre  donné,  quel  que  soit  r; 
assurément  non,  et  l’on  pourrait  présenter  une  infinité  d’ex- 
emples du  contraire.  Or,  on  peut  se  demander,  quelle  est  la 
raison  qui  porte  à admettre,  pour  le  cercle , la  propriété 
énoncée  plus  haut,  quand  on  est  certain  qu’elle  n’a  pas  lieu 
pour  une  infinité  de  courbes?  Le  cercle  ne  se  trouverait-il 
pas  dans  le  nombre  de  ces  dernières?  Ces  questions,  qui 
sont  autant  de  doutes,  doivent  se  présenter  tout  naturel- 
lement en  abordant  la  théorie  des  parallèles,  en  tant  qu’elle 
forme  le  point  fondamental  de  la  Géométrie  élémentaire.  Par 
cette  raison  même,  l’introduction  à cette  science,  ou  ses  élé- 
ments, doivent  être  étrangers  aux  recherches  qui  concernent 
la  comparaison,  même  superficielle,  des  surfaces  limitées  par 
des  lignes  droites  ou  courbes,  comme  celle,  par  exemple,  qui 
entre  dans  l’énoncé  du  principe  de  M.  Schultén. 
Pour  mettre  dans  toute  leur  évidence  les  observations  que 
nous  venons  de  faire,  nous  allons  examiner  analytiquement 
les  conséquences  auxquelles  conduit  la  proposition  admise  par 
l’Auteur  de  la  note  citée,  en  prenant,  au  lieu  du  cercle,  une 
courbe  quelconque. 
Soit  r le  paramètre  de  la  courbe  que  l’on  considère,  et 
f{r)  sa  surface,  limitée  d’une  manière  convenue;  la  courbe  de 
même  espèce,  mais  d’un  paramètre  2 r,  aura  pour  surface 
f(2r).  En  admettant  le  principe  de  M.  Schultén  pour  la 
courbe  que  nous  examinons,  la  fonction  f devra  satisfaire  à 
l’inégalité 
m 
M représentant  un  nombre  abstrait  aussi  grand  que  l’on  veut, 
mais  indépendant  de  r.  Substituant  successivement  à r les 
multiples  2 r,  ir,  8r  . . . . 2n  ~ 1 r,  on  aura 
f(Ar) 
f{2r) 
f&r) 
«4r) 
<K 
<K 
f(ïnr)  ^ K 
f(2n  1 r)  ^ ’ 
d’où  i on  conclura,  en  multipliant  entr'elles  toutes  ces  inéga- 
lités 
2"  r) 
f{r) 
< R". 
Supposons  actuellement  que  l’on  prenne  pour  la  valeur  de 
r l’unité  linéaire , et  que  l’on  désigne  également  par  1 la  sur- 
face de  la  courbe  qui  a V unité  pour  paramètre;  on  aura 
r — 1,  f[r)  = 1 , et  par  conséquent 
f[2n)  < Kn. 
Soit  de  plus  2n  = R et  (i  l’entier  le  plus  proche  qui  satisfait 
à la  condition  R 2^;  nous  aurons 
m < 
Telle  est  la  propriété  qui  caractérise  la  fonction  f.  Il  faut 
donc,  pour  que  le  principe  en  question  ait  lieu,  que  la  surface 
de  la  courbe,  pour  le  paramètre  R,  soit  inférieure  à R [i  étant 
un  nombre  constant.  Sans  doute  cette  propriété  subsiste  pour 
faire  du  cercle  et  pour  les  aires  d’une  infinité  de  courbes 
différentes;  mais  le  môme  principe  sera  en  défaut  pour  les 
surfaces  d’autres  courbes,  dont  le  nombre  est  également  illi- 
mité. Ainsi,  par  exemple,  pour 
R 
m=f{  o«1.' 
I désignant  l’unité  linéaire  et  e la  base  des  logarithmes  népé- 
riens, l’inégalité  » 
R 
m el  < R '\ 
ou  bien,  en  faisant  1=  1 et  f(l)  = 1,  la  suivante: 
eR  < /?<«, 
ne  sera  pas  satisfaite  à partir  des  valeurs  de  R qui  surpassent 
la  racine  réelle  de  l’équation  transcendante 
R — [i  log  R = 0.  » 
Non  seulement  on  peut  choisir  une  infinité  d’exemples, 
dans  le  genre  du  dernier,  pour  lesquels  le  principe  n’ait  pas 
lieu,  mais  on  peut  même  se  donner  à volonté  la  fonction  de 
f[ 2 r)  . , 
r qui  soit  constamment  égale  au  rapport  •>  et  determiner 
ensuite,  par  cette  condition,  la  forme  de  la  fonction  f.  Si  l’on 
voulait,  par  exemple,  que  ce  rapport  fut  égal  à -r,  l désig- 
nant connue  plus  haut  l'unité  linéaire , on  aurait 
A 2r)  r 
m 
et  l’on  tirerait  de  là 
f(4r)  o L. 
/(  2r)  l 
A 8r) 
/(4  r) 
22  . 
f(ßnr) 
p ri — 1 _ 
A 2"  — lr)  " ' l ’ 
en  multipliant  entr’elles  toutes  ces  équations,  on  obtient 
n (n  — 1) 
f 2"r)  _ 9 2 
Ar) 
Faisant  comme  plus  haut  r = /=l,  /’(/)  = !,  2n  — /«,  on 
aura 
