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de  l’Académie  de  ^amt-Pé#er§l>OMrg-. 
log  B — log  2 
f(R)  — R 2,og2  , 
expression  qui,  en  effet,  satisfait  à la  condition 
cm 
m 
R 
et  croît  au-delà  de  toute  limite  en  même  temps  que  R. 
Proposons  encore  un  exemple  plus  particulier  que  les  pré- 
cédents. Soit  une  courbe  parabolique  déterminée  pàr  l’équa- 
tion 
y 
=’-(f)7- 
dans  laquelle  r désigne  le  paramètre  et  / une  unité  linéaire  fixe. 
Si  l’on  compte  l’aire  de  cette  parabole  à partir  de  son  sommet, 
et  qu’on  limite  l’aire  d’un  côté  par  l’axe,  et  de  l’autre  par 
l'ordonnée  qui  correspond  à l’abscisse  égale  au  paramètre  r, 
on  aura  pour  l’expression  de  cette  surface  parabolique 
f[r)  = ■ 
rl 
(t) 
-r  -H  1 
l 
De  même  on  trouvera 
f(2r) 
2 rl 
2r 
7 ~H  1 
(t) 
2 r 
T 
et  par  conséquent 
fi^r) 
f{r ) 
(f-0 
2r 
T 
2 r 
T 1 
0 
Or,  le  second  membre  de  cette  équation,  pour  des  valeurs  de 
r de  plus  en  plus  grandes  que  /,  croissant  au-delà  de  toute  li- 
mite, il  s’en  suit  que  la  condition 
f(2r) 
f(r) 
</f, 
dans  laquelle  K désigne  une  constante,  sera  en  défaut. 
11  nous  semble  qu’après  tout  ce  qui  vient  d’être  dit,  il  est 
impossible  d’admettre,  pour  point  de  départ  dans  la  théorie 
des  parallèles,  le  principe  que  M.  Schultén  a pris  pour  base 
de  sa  démonstration.  Nous  observerons  en  même  temps  qu’en 
partant  d’autres  vérités  du  même  genre,  tout  aussi  évidentes 
en  apparence,  mais  pour  le  fond  également  sujettes  à contesta- 
tion, on  pourrait  démontrer  la  théorie  des  parallèles  d’une 
manière  encore  plus  simple  que  ne  l’a  fait  M.  Schultén. 
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Admettons,  par  exemple,  que  l'on  puisse  toujours  prendre  le 
rayon  CB  [fig.  I)  assez  grand , pour  que  la  surface  du  quart  de 
cercle  DCB  soit  plus  grande  que  la  surface  DCAE  du  biangle 
rectangle  à base  constante  CA,  répétée  un  nombre  déterminé  de  fois. 
Sans  aucun  doute,  on  ne  se  fera  pas  plus  de  difficulté  d’ad- 
mettre ce  principe  que  celui  de  M.  Schultén,  en  faisant  at- 
tention que  la  base  GA  demeure  constante,  tandis  que  le  ra- 
yon CB,  et  par  conséquent  aussi  la  ligne  AB,  peut  être  aug- 
mentée à volonté.  Or,  partant  de  là,  on  démontrera  immédia- 
tement que  la  droite  CN,  inclinée  sur  CA,  rencontre  la  per- 
pendiculaire AE,  car,  dans  l’hypothèse  contraire,  on  sera  con- 
duit à une  conclusion  inadmissible.  En  effet,  supposons,  pour 
abréger,  que  l’angle  DCN  soit  compris  exactement  h fois  dans 
l’angle  droit3);  décrivons  le  quart  de  circonférence  DE  B de 
façon  que  sa  surface  soit  plus  grande  que  la  surface  DCAE 
du  biangle,  répétée  k fois,  ce  qui  pourra  se  faire  en  vertu  du 
principe  que  nous  venons  d’admettre.  On  aura  donc 
k X DCAE  < CDEB. 
Déplus,  puisque  la  droite  CN  ne  rencontre  pas,  par  hypo- 
thèse, la  perpendiculaire  AE,  il  faut  qu  elle  coupe  l’arc  DE 
en  un  certain  point  que  nous  représenterons  par  M.  Or,  la 
surface  DCM  forme  la  /c-è me  partie  du  quart  de  cercle  CDEB, 
c’est-à-dire  que 
k X DCM=  CDEB  , 
cette  équation,  jointe  à l’inégalité  précédente,  donne 
k X DCAE  < k X DCM, 
ou  bien 
DCAE  < DCM, 
ce  qui  est  absurde,  la  portion  DCM  du  biangle  limité  ne  pou- 
vant être  plus  grande  que  le  biangle  DCAE  lui  même.  Donc, 
la  droite  inclinée  CN  rencontrera  la  perpendiculaire  AE  entre 
les  points  A et  E. 
En  terminant  les  observations  que  nous  avions  à faire  au 
sujet  de  la  note  de  M.  Schultén,  qu’il  nous  soit  permis  de 
compléter,  par  de  nouveaux  développements,  les  considéra- 
tions sur  la  théorie  des  parallèles  que  nous  avons  exposées 
dans  deux  Mémoires  publiés  déjà  depuis  quelques  années4). 
Pour  traiter,  d’une  manière  tout-à-fait  rigoureuse,  la  théorie 
des  parallèles,  il  est  indispensable,  comme  de  raison,  de 
prendre  pour  point  de  départ  une  propriété  fondamentale  de 
la  ligne  droite,  propriété  qui,  de  prime-abord,  la  distingue  de 
toute  ligne  combe.  Nous  croyons,  qu’à  la  notion  de  la  ligne 
3)  Si  l’angle  DCN  n’était  pas  contenu  un  nombre  entier  de  fois 
dans  l’angle  droit,  on  sait  comment,  par  la  réduction  à l’absurde,  la 
démonstration  se  ramènerait  au  cas  de  k entier. 
4)  Le  premier  Mémoire  porte  pour  titre:  Considérations  sur  les 
démonstrations  principales  de  la  théorie  des  parallèles;  le  second: 
Nouvelle  théorie  des  parallèles.  Ces  deux  écrits  sont  insérés  dans  les 
Mémoires  de  l’Académie  VI  Série,  sc.  math,  et  phys.  T.  IV.  pp.  87,  207. 
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