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Bulletin  physico  » mathématique 
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droite  comme  de  la  dislance  la  plus  courte  entre  deux  points , J 
notion  qui  doit  être  considérée  comme  primitive,  il  faut  en- 
core joindre  cette  propriété  caractéristique  de  la  droite,  qui 
consiste  dans  l'absence  de  paramètre.  Avec  cela,  tout  ce  qui  re- 
garde les  divers  assemblages  de  lignes  droites  se  démontre 
facilement.  Nous  dirons  donc  que  toute  courbe  admet  un  ou 
plusieurs  paramètres,  tandis  que  la  ligne  unique  que  nous  ap- 
pelions une  droite,  et  dont  nous  reconnaissons  l’existence  par 
la  simple  perception,  n’en  admet  aucun.  En  effet,  toutes  les 
droites  telles  que  nous  les  concevons,  coincident  enlr’elles,  et 
sont  par  conséquent  identiques.  Il  n’en  est  pas  de  même  des 
courbes  qui  ne  peuvent  être  construites  sans  employer  un  ou 
plusieurs  paramètres,  c’est-à-dire  des  longueurs  déterminées 
qui  fixent  leurs  dimensions,  leur  forme  et  la  mesure  de  leur 
courbure  en  différents  points.  Ainsi,  un  cercle  ne  peut  être 
décrit  que  quand  on  connait  son  rayon;  une  parabole  ne  peut 
être  construite  que  quand  son  paramètre  est  donné;  l'ellipse  et 
l'hyperbole  se  définissent  par  leurs  deux  axes  etc.  La  distinc- 
tion caractéristique  des  droites  et  des  courbes  que  nous  ve- 
nons de  présenter  deviendra  encore  plus  sensible,  du  moins 
pour  les  commençants,  par  l’observation  suivante:  supposons 
que  plusieurs  individus  aient  tracé  chacun,  indépendamment 
les  uns  des  autres,  des  droites  et  des  cercles  ou  d’autres 
courbes  d’une  espèce  convenue  d’avance.  Toutes  les  droites, 
confrontées,  coincideront  par  la  superposition,  par  ce  que 
leur  tracé  a été  indépendant  de  toute  longueur  linéaire  déter- 
minée; au  contraire,  les  cercles,  en  faisant  coïncider  leurs 
centres,  ne  coïncideront  pas,  et  cela  à cause  du  choix  arbi- 
traire de  l’unité  linéaire,  c’est-à-dire  de  leurs  rayons. 
Ce  que  nous  avons  dit  par  rapport  aux  droites  et  aux 
courbes  trouve  une  analogie  complète  dans  la  considération 
des  plans  et  des  surfaces  courbes.  Ainsi,  le  plan  est  une  surface 
indépendante  de  tout  paramètre;  au  contraire,  les  surfaces  courbes 
dépendent  chacune  d'un  ou  de  plusieurs  paramètres. 
La  distinction  que  nous  venons  de  faire  peut  être  encore 
envisagée  sous  un  autre  point  de  vue.  Nous  pouvons  dire  que 
la  droite  est  une  ligne  gui  ne  présente  pas  un  ensemble  de  deux 
points  [ni  même  un  seul)  qui  se  distinguent  des  autres  par  quelques 
particularités.  Cette  notion,  tout -à -fait  conforme  à l’idée  pri- 
mitive que  nous  avons  de  la  ligne  droite,  rentre  dans  celle 
qui  a été  exposée  plus  haut;  en  effet,  s’il  pouvait  exister  sur 
la  droite  seulement  deux  points  particuliers,  leur  distance  dé- 
terminerait une  longueur  fixe,  qui  pourrait  être  prise  pour 
paramètre.  Dans  les  courbes,  au  contraire,  il  existe  une  infi- 
nité de  couples  de  deux  ou  de  plusieurs  points,  qui  se  distin- 
guent par  quelques  particularités;  par  exemple,  dans  le 
cercle,  nous  observons  une  infinité  de  couples  composés  de 
deux  points  situés  l’un  de  l’autre  à la  distance  d’un  diamètre; 
dans  la  parabole,  la  perpendiculaire  à Taxe,  passant  par  le  fo- 
yer, détermine  sur  la  courbe  deux  points  particuliers:  dans 
l’ellipse  et  l'hyperbole  on  a entr’autres  les  deux  sommets  etc. 
Dans  tous  ces  cas,  la  distance  entre  deux  points  particuliers 
détermine  une  longueur  fixe  qui  peut  être  prise  pour  para- 
mètre. 
Ces  notions  admises,  nous  allons  déduire  d'une  manière 
lout-à-fait  rigoureuse  la  théorie  des  parallèles  en  traitant, 
comme  M.  Schul tén,  la  proposition  relative  à la  rencontré 
de  l’oblique  avec  la  perpendiculaire. 
Considérons  un  angle  aigu  DAB  (fig.  2)  et  la  perpendicu- 
laire indéfinie  BC  à AB;  il  s’agit  de  prouver  que  l’oblique 
AD,  suffisamment  prolongée,  coupera  nécessairement  cette 
perpendiculaire  BC,  quelle  que  soit  la  longueur  de  la  droite 
AB.  Or,  nous  allons  faire  voir  qu’en  admettant  le  contraire, 
on  arrivera  à une  conséquence  impossible.  Supposons  que 
des  points  m,  m , m"  . . . .,  de  plus  en  plus  éloignés  de  A,  on 
ait  abaissé  sur  AB  les  perpendiculaires  mp,  mp' , m'p"  . . . .; 
il  arrivera  de  deux  choses  l'une:  ou  la  distance  Ap  du  point 
A au  pied  p de  la  perpendiculaire  mp  croîtra  au-delà  de  toute 
limite  à mesure  que  le  point  m s’éloignera  de  A,  ou  bien  cette 
longueur  Ap  convergera,  sans  jamais  l’atteindre,  vers  une  li- 
mite déterminée,  AO  par  exemple.  La  première  hypothèse 
conduit  immédiatement  à la  conséquence  que  l’oblique  AD 
coupe  la  perpendiculaire  BC.  C’est  donc  la  seconde  hypothèse 
qu’il  faut  examiner,  et  admettre,  par  conséquent,  l’existence 
du  point  limite  O,  c’est-à-dire  d’une  longueur  fixe  AO,  lon- 
gueur qui  doit  être  déterminée  au  moyen  de  l’angle  rectiligne 
DAB.  Or,  il  résulte  de  ce  qui  a été  dit  plus  haut,  qu’il  ne 
peut  exister  aucune  relation  entre  un  angle  rectiligne  et  une 
longueur  fixe.  Pour  s’en  convaincre,  on  observera  d’abord  que 
l’angle  rectiligne  DAB  est  complètement  défini  par  les  trois 
notions  suivantes:  par  la  notion  de  la  droite,  par  celle  du  plan 
et  enfin  par  celle  du  nombre  abstrait.  En  effet,  quel  que  soit 
l’angle  DAB,  il  formera  toujours  une  portion  déterminée  de 
l'angle  droit  BAE,  considéré  dans  le  plan  de  l’angle  DAB; 
ainsi,  par  exemple,  si  l’angle  DAB  est  égal  aux  | d’un  angle 
droit,  il  sera  complètement  défini  d’abord  par  la  notion  de  la 
droite,  en  tant  que  chaque  côté  de  l’angle  est  une  ligne  de 
cette  nature,  ensuite  par  celle  du  plan,  et,  en  troisième  lieu, 
par  la  notion  du  nombre  fractionnaire  abstrait  |,  l’angle  droit 
étant  pris  pour  unité.  Cela  posé,  comme  nous  admettons 
l’existence  de  la  longueur  fixe  AO,  ce  sera  l’angle  rectiligne 
DAB  qui  lui  donnera  naissance;  par  conséquent,  cette  ligne 
AO  ne  dépendra  également  que  des  trois  notions  mentionnées. 
Mais,  d’après  la  nature  de  la  droite , du  plan  et  du  nombre  ab- 
strait, il  n’y  entre  aucun  paramètre,  c’est-à  dire  aucun  élément 
qui  soit  homogène  avec  une  unité  linéaire ; donc,  la  droite  li- 
mitée AO  ne  peut  pas  exister,  et  nous  en  concluons  par  suite 
que  l’oblique  DA  coupe  la  perpendiculaire  BC  quelle  que  soit 
la  distance  de  A à B.  De  là  on  déduira  rigoureusement , 
comme  corollaire,  le  postulatum  d’Euclide. 
On  pourrait,  peut-être,  élever  quelques  doutes  sur  la  pos- 
sibilité de  faire  entrer  cette  démonstration  dans  un  cours  élé- 
mentaire de  Géométrie;  mais,  sous  le  rapport  de  sa  rigueur, 
elle  semble  être  à l’abri  de  toute  objection.  Nous  dirons  plus: 
celte  manière  d’envisager  la  théorie  des  parallèles,  du  moins 
pour  le  fond,  est  peut-être  la  seule  qui  lève  les  difficultés 
que  l’on  a toujours  rencontrées  en  traitant  cette  question  fon- 
damentale. 
