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de  l'Académie  de  Saint-Pétersbourg. 
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Pour  mieux  faire  voir  encore  le  parti  que  l'on  peut  tirer, 
dans  la  Géométrie  élémentaire,  de  la  propriété  caractéristique 
de  la  droite,  en  tant  qu  elle  ne  peut  donner  naissance  à au- 
cune longueur  fixe,  nous  allons  soumettre  à l’épreuve  la  pro- 
position suivante: 
Deux  lignes  droites  qui  ont  deux  points  communs  coïncident 
Vune  avec  l'autre  dans  toute  leur  étendue,  et  ne  forment  qu'une 
seule  et  même  ligne  droite . 
Nous  transcrivons  ici  la  démonstration  de  ce  théorème  telle 
qu’elle  se  trouve  dans  les  Eléments  de  Géométrie  de  Legendre 
(12-ème  édition,  page  8): 
«Soient  les  deux  points  communs  A et  B (fig.  3);  d’abord 
les  deux  lignes  n’en  doivent  faire  qu’une  entre  i et  11,  car 
sans  cela  il  y aurait  deux  lignes  droites  de  A en  B,  ce  qui 
est  impossible.  Supposons  ensuite  que  ces  lignes  étant  pro- 
longées, elles  commencent  à se  séparer  au  point  C , l’une  de- 
venant CD,  l’autre  CE.  Menons  au  point  C la  ligne  CF,  qui 
fasse  avec  CA  l’angle  droit  ACF.  Puisque  la  ligne  ACD  est 
droite,  l’angle  FCD  sera  un  angle  droit;  puisque  la  ligne  ACE 
est  droite,  l’angle  FCE  sera  pareillement  un  angle  droit.  Mais 
la  partie  FCE  ne  peut  pas  être  égale  au  tout  FCD;  donc  les 
lignes  droites  qui  ont  deux  points  A et  B communs,  ne  peu- 
vent se  séparer  en  aucun  point  de  leur  prolongement;  donc 
elles  ne  forment  qu’une  seule  et  même  ligne  droite.» 
Observons  que  cette  démonstration  suppose  l’angle  DCE 
fini;  mais,  ne  devrait-on  pas,  à la  rigueur,  lever  l’objection  de 
celui  qui,  niant  l’hypothèse,  affirmerait  que  cet  angle  peut 
être  infiniment  petit , comme  celui  que  forme  une  courbe  avec 
sa  tangente.  En  effet,  quelle  est  la  raison  qui  porte  à admettre, 
gratuitement,  que  deux  droites  qui  ont  un  point  commun,  ne 
peuvent  pas  se  trouver  dans  les  mêmes  circonstances  que 
deux  courbes,  ou  bien  une  courbe  et  une  droite,  tangentes 
entr’elles?  Assurément  c’est  une  question  que  nous  sommes 
en  droit  de  nous  faire  si  nous  voulons  raisonner  tout -à -fait 
rigoureusement.  Aussi,  nous  semble- 1- il,  que  la  démonstra- 
tion que  l’on  donne  du  théorème  cité,  n'est  pas  entièrement 
satisfaisante,  car  on  n’y  fait  pas  même  entrer,  ni  explicitement 
ni  implicitement,  la  propriété  de  la  droite  CE  qui  la  distingue 
d’avec  des  portions  de  courbes  telles  que  CG  ou  CG'  qui  au- 
raient CD  pour  tangente  au  point  C. 
En  partant  des  notions  émises  plus  haut,  la  proposition 
dont  il  s’agit  se  démontre  d'une  manière  très  simple  et  tout- 
à- fait  rigoureuse,  sans  être  obligé  même  d’admettre,  comme 
on  le  fait,  l’axiome  en  vertu  duquel  d’un  point  à un  autre  on 
ne  peut  mener  qu’une  seule  ligne  droite.  En  effet,  soient  AB  et 
DE  (fig.  4)  deux  droites  qui  se  coupent  au  point  C.  Suppo- 
sons qu’après  avoir  fait  tourner  la  droite  DE  autour  du  point 
C dans  le  plan  ECB , elle  ait  pris  la  position  D E . Pendant 
ce  passage  il  n’a  pu  arriver  que  de  deux  choses  l’une:  ou 
bien  la  droite  DE  a coïncidé  avec  AB  dans  tous  ses  points, 
ou  bien  la  coïncidence  n’a  eu  lieu  que  pour  certains  points, 
quel  qu’en  soit  d’ailleurs  le  nombre.  La  première  hypothèse 
conduit  de  suite  à la  proposition  que  nous  avons  en  vue  de 
démontrer.  Quant  à la  seconde,  elle  suppose  l’existence  de 
points  particuliers  sur  la  droite  DE,  et,  par  cela  même,  doit 
être  rejetée.  En  effet,  si  l’on  admet  que  ces  points  de  coïn- 
cidence soient  F , G etc.  et  leurs  correspondants  F , G etc.,  il 
en  résultera  que  les  deux  droites  AB  et  DE,  sans  aucun  autre 
élément,  détermineront  certaines  longueurs  fixes,  par  exemple 
la  plus  courte  CG,  en  supposant  que  G soit  le  premier  point  de 
coincidence,  ou  CF,  GF  etc.  Ainsi,  deux  droites  ne  peuvent  avoir 
qu'un  seul  point  commun,  et  alors  elles  se  coupent,  ou  bien  elles 
coïncident  complètement  dans  toute  leur  étendue. 
Terminons  ces  considérations  en  les  appliquant  encore  à 
une  autre  théorie  fondamentale  de  la  Géométrie,  nommément 
à celle  des  lignes  proportionnelles.  Supposons  que  l’angle  BAG 
= a Ifig.  5),  c’est-à-dire  l’ensemble  des  deux  droites  AB  et 
AC  qui  se  coupent  au  point  A,  soit  donné.  Admettons  de  plus 
que  l’on  ait  un  autre  angle  connu  EDF  = ß tel  que  la  somme 
a -t-  ß soit  inférieure  à deux  angles  droits.  Si,  par  des  points 
arbitraires  p,  p , p ....  on  mene  pm,  p m p m ....  de  ma- 
nière à ce  cjue  les  angles  Apm,  Ap  m , Ap  m soient 
égaux  à ß,  c es  droites  pm,  p m , p m .......  suffisamment 
prolongées,  rencontreront  la  ligne  AC  en  vertu  du  postulatum 
d’Euclide  qui  se  trouve  déjà  établi  par  ce  qui  a été  dit  plus 
haut.  Cela  posé,  considérons  les  rapports  abstraits 
4»  V _VL  etc  • 
pm  p m p m 
il  ne  pourra  arriver  que  de  deux  choses  l’une:  ou  tous  ces 
rapports  seront  égaux  enlr’eux,  ou  bien  il  y en  aura  au  moins 
deux  de  différents.  La  première  hypothèse  constitue  la  théorie 
des  lignes  proportionnelles , qui  se  trouvera  par  conséquent  éta- 
blie si  nous  faisons  voir  l’impossibilité  de  la  seconde  suppo- 
Ap  Ap' 
silion.  Admettons  donc  que  les  deux  rapports  — et  -y—n  par 
1 pm  pm 
exemple,  soient  différents  entr’eux,  et  que  l’on  ait 
± = V ^ 8 
pm  pm 
d étant  un  nombre  fini  abstrait,  différent  de  zéro.  Si  cette 
égalité,  pour  un  nombre  convenable  et  donné  S,  pouvait  avoir 
lieu  plusieurs  fois,  c’est-à-dire  pour  plusieurs  systèmes  de 
parallèles  telles  que  pm,  p m',  p m ...  .,  soient  pm  et  p m 
les  deux  droites  du  premier  système,  nommément  de  celui 
pour  lequel  les  parallèles  pm,  p'rn  sont  les  plus  rapprochées 
du  point  A.  Donc,  les  données  précédentes  qui  sont  les  deux 
angles  rectilignes  a et  ß,  avec  la  nouvelle  donnée  d qui  repré- 
sente un  nombre  abstrait,  serviraient  à déterminer  la  longueur 
fixe  Ap , ce  qui  ne  peut  pas  être.  Par  conséquent  la  seconde 
hypothèse  est  inadmissible,  et  c’est  la  première  qui  doit  avoir 
lieu,  c’est-à-dire  l’égalité  de  tous  les  rapports  que  l’on  consi- 
dère. De  celte  manière  la  théorie  des  lignes  proportionnelles  se 
trouve  établie  rigoureusement,  et  dans  toute  sa  généralité, 
sans  qu’on  soit  obligé  de  distinguer  les  cas,  où  les  lignes  se- 
raient commensurables  ou  incommensurables  enlr’elles. 
Les  diverses  applications  qui  viennent  d’être  données  suffi- 
sent pour  montrer  le  parti  que  l’on  peut  tirer  dans  laGéomé- 
