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Bulletin  pliysieo  -mathématique 
lOO 
K = 
n 
m„ 
(4) 
On  opérera  la  construction  graphique  des  moyennes  (3)  de 
la  manière  suivante:  ayant  pris  sur  une  droite  indéfinie  les 
longueurs:  AO=n,  OD  = m,  on  trouvera  le  point  F , milieu 
de  AD , ce  qui  donnera  nl  = AF=  DF  = — ^ > pour 
avoir  la  moyenne  m,  = Y (mn) , on  tracera  un  cercle  sur  le 
diamètre  AD;  l’ordonnée  du  cercle  élevée  du  point  O sera  la 
longueur  cherchée  ml  — Y(mn)  = OE.  Opérant  de  même  sur 
ml  et  »j,  on  trouvera  n2  et  prenant  donc  FK=OE=mi, 
on  divisera  en  deux  parties  égales  la  somme  Dix  = m,  nl  ; 
ainsi  on  aura  KG  — 
- = n2,  après  quoi  on  décrira  sur 
le  diamètre  DK  un  demi-cercle  et  on  élévera  l’ordonnée 
FH , laquelle  sera  m2=]/(m1«1).  Si  l’on  fait  maintenant 
GI=FH=m2 , on  trouvera  pour  la  différence  n2  — m2  = 
KG- — G/ une  très  petite  valeur,  et  la  différence  n3  — m2, 
étant  encore  plus  petite,  sera  insensible  au  compas;  donc  on 
, , , m2  -t-  n 
aura  a très  peu  près  m3=ni=— — - — 
Cela  fait,  la  formule  (4)  donnera 
ID  m3 
'2  ’ n. 
= h\=z  1. 
T.  Jt/  % Mit  il  1 / 
2 m, 
n . AO 
11) 
(5) 
Ainsi,  pour  construire  K , il  faut  trouver  une  quatrième  pro- 
portionelle  à tc,  AO,  ID.  Mais  avant  tout  on  doit  déterminer 
la  longueur  de  tt,  ce  que  l’on  peut  faire  par  un  procédé  très 
commode,  donné  par  un  Géomètre  polonais  Kochanshy  (Acta 
eruditorum  Lipsiae,  anno  1G85).  Avec  un  rayon,  pris  pour 
l’unité  (dans  le  cas  actuel  c’est  AO),  on  tracera  un  cercle  et 
son  diamètre  SR;  par  l’une  des  extrémités  de  celui-ci  on  mè- 
nera une  tangente  TN  et  une  corde  RM,  égale  au  rayon;  du 
centre  O on  abaissera  une  perpendiculaire  OT  à MR,  en  la 
prolongeant  jusqu’à  sa  rencontre  avec  la  tangente;  soit  7’ ce 
point  de  rencontre.  Cela  fait,  on  portera,  à partir  de  T,  sur 
la  direction  de  la  tangente,  trois  fois  le  rayon,  et  on  joindra  à 
S l’extrémité  N de  cette  longueur  TN  = 3;  on  aura  ainsi 
NS— Tt,  avec  une  approximation  poussée  jusqu’aux  décimales 
du  5-me  ordre.  En  effet,  il  est  facile  de  voir  que 
VI2‘  + =3' 141  5 
NS 
conde  espèce  E ^ (J  > kj  = E = J 2 y (1  — Ir  sin 2 cp) . dtp. 
Or  par  une  formule  de  M.  Jacobi  (Mathematische  Werke, 
1.  Bd.  pag.  14),  on  a 
3 
(1  -\-Ylt)  E = K (1  -A-Vk')  Yk’  + D^y.K 
— rtK’ 
Prenons  maintenant  NU—1D,  NW=  AO , menons  WU  et 
une  parallèle  à celle-ci  SZ;  on  obtiendra  ainsi,  en  vertu  de  la 
formule  (5), 
, K = NZ. 
La  construction  que  nous  venons  de  présenter  pourra  servir 
pour  la  rectification  de  la  lemniscate  de  Bernoulli  et  des  el- 
lipses de  Cassini. 
Passons  à la  rectification  de  l’ellipse  ordinaire,  que  nous 
avons  principalement  en  vue;  supposons  que  ses  axes  soient 
égaux  à AO  = n = 1 et  à OC—  m = 1t.  La  longueur  CB  du 
quart  de  l’ellipse  donné  sera  la  fonction  complète  de  la  se- 
où  D = 2 (2 -q*  -t-  4 2q16  -+- . . .)  , q = e h ; mais  vu  la  pe- 
_3 
titesse  de  q* , la  valeur  de  D R sera  insensible  au 
compas  ; on  pourra  donc  poser  simplement 
(1  -+-  Yk  ) E = K (i  -+-  Yk  ) Yk 
et  par  suite 
E = KYk'  (1  — Yk'  -+-  k') , 
expression  qui,  eu  égard  aux  formules: 
Yk  V ~ 5 1 — i-  k 
n 
se  réduit  à 
m -i-  n 
On 
= H»! , 
K = 
n 
n 
— 7n  y 
i — n (■ 
2nt22 
\ n J 
2 mA 
n 
7t . n 
2 m ' 
Dans  le  cas  actuel  on  a = ID,  m = OD,  et  pour  trouver 
171  ^ 
-A-  il  faudra  porter  sur  OC  prolongée  la  longueur  OL  = 
FH  = m2,  mener  ensuite  la  droite  AL  et  élever  sur  celle-ci 
TTti  ^ 
la  perpendiculaire  LQ;  la  longueur  cherchée  sera  OQ 
Ainsi,  en  faisant  QP  — OQ,  on  aura 
2 — 22  — m = 2 . OQ  — OD  = PO  — OD  = PD, 
n 
par  conséquent 
E = 
n . PD 
ID  ' 
Pour  construire  cette  expression  prenons  NY  = PD,  menons 
UY  et  une  parallèle  à celle-ci  S F;  la  longueur  NV  sera 
égale  au  quart  de  l’ellipse  E=BC.  Pour  l’ellipse  totale, 
on  aura  4 . NV. 
Nous  avons  représenté  dans  la  figure  une  ellipse  assez  al- 
longée; mais  pour  des  ellipses  à excentricités  plus  petites,  le 
procédé  sera  encore  plus  expéditif  à cause  de  la  convergence 
rapide  des  modules:  h t,  h 2,  h 3,  . . . 
