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Bulletin  physico  - mathématique 
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Die  Richtigkeit  der  polaren  Theile  wird  durch  folgende 
Gleichungen  geprüft: 
ff  ft  tt  ■ ff  t fff^t  rt 
ßd+a  a . ..  = 1 ab  -nab  . . . = 0 
k +1/  it  . . . = 0 k + H ...=  1 
Aus  den  einheitlichen  primitiven  und  polaren  Theilen  ergeben 
sich  die  Glieder  des  Grenzsjstems  durch  folgende  Ausdrücke: 
/ . , r n - /.  // 
1 — 11=  a'a'  -+-  b b 
12  = a'a-t-  . . 
_ 21 
b'b" . . . 
1—22  = « a -h  6 b 
Das  Grenzsystem,  dessen  Glieder  von  der  Gewichtseinheit  un- 
abhängig sind,  ist  dann: 
11 
12 
13 
21 
22 
23 
31 
32 
33 
Die  erste  Prüfung  gewährt  die  Gleichung  der  Seitenzahlen 
12  — 21  13  = 31  23  = 32... 
Die  zweite  Prüfung  erhält  man  durch  die  Summe  der  Quer- 
zahlen 
ll-i-22-i-33...  = n — r 
Hier  ist  « die  Anzahl  der  Beobachtungen  oder  der  Glieder  in 
jeder  Reihe  des  Grenzsystems,  und  r die  Anzahl  der  Glieder 
in  jeder  Reihe  des  primitiven  und  polaren  Systems. 
Eine  dritte  Prüfung  giebt  der  Satz,  dass  die  Summe  der 
Glieder  des  Grenzsystems  gleich  der  Summe  der  Quadrate 
dieser  Glieder  ist.  Es  sei  nämlich 
b b -t ~ c c . . . = S 
/ 
a a - 
11 
21 
31 
12- 
22- 
32- 
- c 
13  . 
23 
33 
so  ist 
(1  „ „')  -+-  (1  — v" 
(1— l/)  (1 — ü')-h(1 — v")  (1 — v 
ff  ff 
V V 
! t "f 
• (1  — V ) . . . 
t'\  "t \ it  at. 
H-(l—  V ) (1 — ® ) 
tn 
H-  V . . . 
fff  fff 
-I-  V V 
Die  vierte  Prüfung  gewähren  die  Gleichungen: 
Il  a 
11  b’ 
• a 
12  b" 
. = o 
= 0 
21  a' 
21  b'  ■ 
22  a 
22  b' 
11  o'  -h  \2  a"  . . . = 0 
11  b'-Hl2b"  ...  = 0 
21  o'-h22  a' 
21  b'  -+-  22  b' 
=5 
..=S 
—n — S 
=n — 5 
= 0 
= 0 
= 0 
= 0 
Eine  fünfte  Prüfung  führt  zu  einer  bemerkenswerthen  Ei- 
genschaft des  Grenzsystems.  Bei  der  Bildung  des  primitiven 
Systems  schreibt  inan  gewöhnlich  die  gleichnamigen  primiti- 
ven Theile  unter  einander: 
Man  setze  sie  nun  neben  einander: 
a 
b' 
r/r 
Das  gewöhnliche  Verfahren  giebt  dann  die  Glieder: 
1.1=2  a a -+-  b b -h  e c ..  7. 77=  a a -h  b b -hcc 
TT  TT  " " |"l/'  . " " 
11.11=2  a a -h  b b -H  c c 
Das  Nebensystem  der  primitiven  Theile , dessen  Glieder 
der  Gewichtseinheit  verhältlich  sind,  ist  also: 
7.7 
I.II 
I.III 
I. II 
II.  II 
II. III 
1.111  ... 
11. 111  ... 
III. III... 
Man  erhält  dann  die  einheitlichen  primitiven  Theile  aus  den 
einheitlichen  polaren  Theilen  durch  die  Gleichungen 
a!  = 7.7  a'-H/.//  a . 
a"  = I.  II  d -H  II.  II  a" 
b'  = 7.7  b'  -h  II.  II  b 
b " = I.  Il  b'  -h  II.  II  b " 
Eben  so  gelten  für  die  Glieder  des  Grenzsystems  die  Glei- 
chungen : 
o = i.i  n+i.n  12... 
0 = /.//11  -h  11. II 12  . . . 
0=7.7  21  -H7.77  22  . . . 
0 = 7.7/21  -h  77.7722  . . . 
Die  Anzahl  der  Glieder  in  jeder  Reihe  dieses  Nebensystems 
ist  gleich  der  Anzahl  der  Beobachtungen  n.  Aus  demselben 
lässt  sich  nur  dann  eine  vollständige  Ausscheidung  vorneh- 
men, also  çin  bestimmtes  Polarsystem  bilden,  wenn  n = r ist. 
In  diesem  Falle  giebt  dieses  Polarsystem  des  Nebensystems 
mit  den  primitiven  Theilen  a a . . .,  die  polaren  Theile  a a 
. . .,  mit  den  primitiven  Theilen  b'b"  . . .,  die  polaren  Theile 
bV'  u.  s.  f.  Auch  folgt  aus  den  obigen  Gleichungen,  dass  in 
diesem  Falle,  wo  « = rist,  sämmtliche  Glieder  des  Grenz- 
systems verschwinden  müssen, 
