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Bulletin  physico  - mathématique 
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A'  B'  C' .... 
A"  B"  C". . . 
M 
N 
aa  ab  ac...  aa-\-AA 
ab  bb  bc...  aa-t-AB 
ab  -+-  AB  ac  -4-  AC  . . . 
bb  -t-  BB  bc  -4-  BC  . . . 
ac  bc  cc...  ac  -+- AC 
bc  -t-  BC  cc  -4-  CC  . . . 
Die  polaren  Systeme  seien  21?  9Î. 
21? 
9? 
aa  ab  ac . . . 
aa  aß  ay  . . . 
ab  bb  bc . . . 
aß  ßß  ßy... 
ac  bc  cc... 
ay  ßy  yy  . . . 
Aus  9?  Gndet  man  21?  durch  folgende  Rechnung: 
Erste  Hülfstheilreihe. 
U'  = A'  aa  -+-  B'  aß  . . . 
V'  — A'  aß  -4-  B'  ßß  . . . 
U''=  A"aa  -+-  B" aß . . . 
V"=A”aß-i-B"ßJ... 
\ -pp  = A'U'  + B'V' ... 
-pq  = A"u'  + B,'V’  ... 
» f rr^  T)^  TT^ 
— qp  = AU  -4-  B V ... 
1 — qq  — A"U"  -+-  B"V".  . . 
Hier  sind  die  entsprechenden  Seitenzahlen  einander  gleich, 
qp  — pq  u.  s.  w.  Aus  dem  primitiven  Hülfssystem  P wird  das 
polare  Hülfssystem  gefunden. 
P 
pp  pq  pr  . . . 
pp  pq  pr... 
pq  qq  qr..  . 
pq  pq  qr_. . . 
pr  qr  rr  . . . 
pr  qr  rr  . . . 
Zweite  Hülfstheilreihe. 
u'=  U' pp  H-  U" pq  . . . 
vr—  Fpp  -4-  7"pq  . . . 
u"=  Z7rpq  -+-  U" qq  . . . 
v"=  7'pq  -4-  7"qq  . . . 
Hieraus  die  Glieder  des  Polarsystems  21?: 
aa  = aa  -4-  Uu 
ab  = aß  -t-  Uv  . . . 
ab  = aß- f-  Vu 
bb  = ßß- t-Vv... 
Hier  sind  die  entsprechenden  Seitenzahlen  einander  gleich, 
Uv  = Vu  u.  s.  w. 
Auf  dieselben  Zahlen  gelangt  man  bei  der  Bestimmung  von 
3?  aus  21?.  Die  zweite  Hülfstheilreihe  in  dem  einen  Fall  ist 
gleich  der  ersten  Hülfstheilreihe  in  dem  andern  Fall,  das  pri- 
mitive Hülfssystem  P in  dem  einen  Fall  ist  gleich  dem  pola- 
ren Hiilfssystem  in  dem  andern  Fall,  die  Produkte  Uu,  Uv, 
Vv  . . . sind  in  beiden  Fällen  dieselben. 
Der  vorstehende  Satz  giebt  folgenden  neuen  Weg,  um  aus 
einem  primitiven  System  dessen  polares  System  abzuleiten. 
Aus  einem  gegebenen  primitiven  Systeme  M bildet  man 
durch  fortgesetzte  Erniedrigung  die  primitiven  Systeme  M' 
W ... 
M 
M" 
aa 
ab 
bb 
ac 
bc 
cc 
ad . 
bd . 
cd.  . 
dd. 
b'b' 
bV 
cc 
by... 
cd! . . . 
d'd'. . . 
y . 
d"d\ 
Diese  Erniedrigungen  werden  durch  die  Glieder  der  obern 
Reihe  bewirkt: 
b'b'  — bb  -4-  ab  ab 
b'c' 
/ ' 
c c 
: bc  ■ 
cc  - 
- ab  ac 
ac  ac 
b'd'  = bd -f-  ab  ad 
cd'  = cd  -f- ac  ad 
d'd'  = dd  + ad  ad 
u.  s.  w. 
Wie  M zu  M'  erniedrigt  wird,  so  M'  zu  M"  u.  s.  w.  Diese 
Erniedrigung  wird  so  lange  fortgesetzt,  bis  man  auf  ein  Sy- 
stem gelangt,  welches  sich  bequem  in  ein  polares  umwandeln 
lässt.  Von  diesem  polaren  System  steigt  man  dann  zum  nächst- 
höhern  hinauf.  Das  gegebene  polare  System  sei  2J?/,  das  nächst- 
höhere 21?. 
2)?' 
m 
ßß  Ê?  & 
yy  yd 
Öd 
aa 
ab 
bb 
ac 
bc 
cc 
ab . . . 
bb  . • 
^b  . . . 
bb  ... 
Aus  2)?'  findet  man  2 1?  mittels  der  obern  Reihe  von  M durch 
folgende  Rechnung: 
1 « 
— = 1 -4-  aa 
u . . 
— v = ab  ßß  H—  ac  ßy  -t-  ad  ßd  . . . 
— w — ab  ßy  -t-ac  yy  -4-  ad  yd  . . . 
— x = ab  ßd  -v~ac  yd  ad  dd  . . . 
~ - = 1 — u -+-  ab  v -+-  ac  w ad  x . . . 
aa  = u -t-  Xuu  ab  = A«v  ac  = A«te... 
bb  = ßß  -+-  Xvv  bc  = ßy  -+-  Xvw  . . . 
cc  = yy-t-  Aiot»  ... 
