A?  21 5.  BULLETIN  Tome  IX. 
JW  23. 
DE 
LA  CLASSE  PHYSICO-MATHÉMATIQUE 
DE 
L’ACADÉMIE  IMPÉRIALE  DES  SCIENCES 
DE  SAINT-PÉTERSBOURG, 
Ce  Recueil  parait  irrégulièrement,  par  feuilles  détachées  dont  vingt-quatre  forment  un  volume.  Les  abonnés  recevront  avec  le  dernier  numéro 
l’enveloppe,  le  frontispice  la  table  des  matières  et  le  registre  alphabétique  du  volume.  Les  comptes  rendus  annuels  de  l’Académie  entreront 
dans  le  corps  même  du  Bulletin;  les  rapports  sur  les  concours  Démidov  seront  annexés  en  guise  de  suppléments.  Le  prix  de  souscription,  par 
volume , est  de  trois  roubles  argent  tant  pour  la  capitale  que  pour  les  gouvernements , et  de  trois  thaler  de  Prusse  pour  l’étranger. 
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passé,  à M.  Léopold  Yoss,  libraire  à Leipzig, 
SOMMAIRE.  NOTES.  32.  Sur  la  fraction  continue  eulèrienne.  Clausen.  33.  Recherches  ichthyologiques.  Baer.  34.  Les 
phénomènes  périodiques  des  plantes,  durant  l'éclipse  du  soleil.  Ruprecht.  BULLETIN  DES  SEANCES, 
XT  O T B S. 
32.  Ueber  den  Werth  des  Kettenbrüchs 
a —h  b 
a — t—  1 -+•  b-t- 1 
a h-  ± b -+-  2 
an-  ,3 -H etc, 
WENN  6 GRÖSSER  ALS  fl  + 1 IST,  VON  HERRN 
Observator  Dr.  CLAUSEN  in  Dorpat. 
(Lu  le  28  février  1851), 
Obgleich  die  oben  stehende  Function  so  ausserordentlich 
c1 
einfach  ist,  dass  man  auf  den  ersten  Anblick  glauben  möchte, 
der  analytische  Ausdruck  derselben  müsse  äusserst  leicht  zu 
finden  sein  : so  stosst  man  doch  bei  der  Bestimmung  desselben 
auf  ganz  unerwartete  grosse.  Schwierigkeiten.  Euler,  der 
mehrmals  den  einfachsten  Fall  untersuchte,  wenn  a und  b 
ganze  positive  Zahlen  sind,  gelangte  nur  durch  sehr  sinnrei- 
che Methoden  zur  Bestimmung  des  Werthes  in  diesem  Falle. 
Das  gefundene  Resultat,  dass  diese  Werthe  rationelle  Brüche 
seien,  war  um  so  auffallender,  als  für  ganze  kleinere  und  ne- 
gative Werthe  von  b der  Bruch  transcendent  wird,  und  von 
der  Basis  der  natürlichen  Logarithmen  abhängt. 
Die  Ergebnisse  der  Untersuchungen  von  Euler  und  Andern 
in  Beziehung  auf  diesen  Kettenbruch  hat  Professor  Stern  in 
Göttingen  im  Crelle ’sehen  Journale  für  Mathematik  Bd.  8, 
Seite  42  nach  einer  eigenen  Methode  entwickelt.  Es  ergiebt 
sich  für  den  Werth  des  Kettenbruchs  der  Quotient  zweier 
hypergeometrischen  Reihen,  deren  Werthe  blos  in  dem  Falle, 
dass  sie  abbrechen,  oder  nur  eine  endliche  Anzahl  Glieder 
enthalten,  angebbar  sind.  Hiedurch  werden  die  Euler’schen 
Resultate  sämmllich  dargestellt,  und  zugleich  die  Fälle,  wenn 
b — a eine  ganze  positive  Zahl  ist,  ohne  dass  a und  b ganze 
Zahlen  sind.  Wenn  b aber  bine  ganze  Zahl  ist,  und  a ein 
Bruch,  so  stimmt  der  nach  der  Formel  berechnete  Werth 
durchaus  nicht  mit  dem  directe  berechneten  überein,  z.  B. 
wenn  a=\,  b= 2. 
Es  veranlasste  mich  dieser  Umstand,  die  Theorie  dieses 
Kettenbruchs  ausführlicher,  und  wenn  möglich,  in  aller  All- 
gemeinheit zu  entwickeln.  Zwar  ist  mir  das  letztere  nicht  ge- 
lungen, jedoch  da  ich  auch  für  die  Fälle , wenn  b eine  ganze 
Zahl  ist,  a aber  ein  Bruch,  die  wahren  Werthe  gefunden  habe, 
so  glaube  ich  meine  Arbeit  als  nicht  ganz  nutzlos  darlegen 
zu  dürfen. 
1.  Es  sei 
b -+-  A — 1 
CL  — f—  À -f-  i+*  1 ) 
(1) 
in  welcher  Formel  F(X)  eine  Function  der  ganzen  Zahl  A be- 
deutet. Setzt  man  hierin  F[X)=-^~^  worin  x/>  (A)  eine 
andere  Function  von  A bezeichnet  , so  findet  sich 
(b- t-A — i)xp(X  — l)  — (a-+-X)xjj(X) — i//(A-h1)=0  ...  (2) 
Diese  Gleichung  ist  eine  endliche  Differenzengleichung  zweiten 
