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Bulletin  pliysico  - mathématique 
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Grades;  ihr  allgemeines  Integral  enthält  also  zwei  willkür- 
liche Constanten.  Nach  Bestimmung  derselben  hat  man  den 
V(l) 
Werth  des  Keltenbruchs:  a- 1- 
y(0) 
Man  sieht  leicht,  dass  die  vollständige  Integration  der  Glei- 
chung nur  die  Kenntniss  von  zweien  verschiedenen  particulärcn 
Integralen  erfordert.  Denn  es  seien  diese,  die  beide  der  Glei- 
chung (2)  Genüge  thun:  yj(X)=cp(X)  und  ip(X)  = %[X)i  so  ist 
das  allgemeine  Integral  ip[X)  = kcp[X)-\~k  %{X),  worin  lc  und 
k die  erwähnten  Gonstanten  bezeichnen. 
2.  Es  sei 
y = x-(b~a-2)  [X  — 5 
[e  bedeutet  die  Basis  der  natürlichen  Logarithmen)  so  wird: 
dy  = —(b  — a — 2)x-{b-a-l){x—l)(b+À~l) 
.\-\)x-{b-a~2\x- !)(&-»-*-*>  t e~x.dx 
•(b- 
) 
- 1)0»  \*—  ‘I  1 2M  e ° 
— x-{b~a-2)(x—  ] 
welche  Gleichung  nach  einer  leichten  Reduction  sich  in  fol- 
gende verwandelt: 
[x  — 1-+- 
dy={  — (x  — i) 
{b-t-X—l)[x  — i 
\b-t-  X — 2 
X 
{b  — a—  1) 
cdx. 
Wenn  b-i-X^>  \ ist,  so  ist  f.dy= 0 zwischen  -+- 1 und  -+-oo 
genommen.  Setzt  man  demnach: 
/°°x-{b-a-l)  {x-î)b-i-À~le-x.dx  = f{X)  . ..(3) 
Ji 
so  wird: 
0 = — 1)  -l-  (u-f-A)  f{X) -+■  {b- t-A—  1)  f{X—  1). 
Vergleicht  man  diese  Gleichung  mit  der  Gleichung  (2),  so 
findet  man: 
y{X)  = [-\)xf[X). 

welches  demnach  ein  particuläres  Integral  der  Gleichung 
(2)  ist. 
3.  Ein  zweites  particuläres  Integral  bildet  die  schon  be- 
kannte, für  ganze  Werthe  von  a und  b geltende  Reiche: 
- b—a— 2 
r — (*■ 
\)X- 
(b  — a — 2)  (6  — a — 3) 
(&-+-A—  1)(6-+-A  — 2)x2 
1 2 
worin  das  Gesetz  der  Fortschreitung  augenfällig  ist.  Auf  glei- 
che Weise  wie  Gauss  in  den  Disquisitiones  generales  circa  se- 
riem  infmitam , findet  man  für  diese  Reihe: 
(b- t-A— l)a?  f^X  — lyX]  — j (a-t-A-i-l)#  — I j ft(X,  x)  — 
fl{X-*-i,x)  = 0 
also  auch: 
(b+X-l )fl(X-ili)-(a-t-X)fl  (X,  l)-ft  (A-t*l,  l)=0  . .(5) 
welches  mit  der  Gleichung  (2)  verglichen  ein  zweites  particu- 
läres Integral  derselben  giebt: 
V(X)  = fl(X,  1). 
4.  Wir  haben  also,  vorausgesetzt,  dass  die  beiden  Integrale 
sich  nicht  blos  durch  einen  constanten  Factor  unterscheiden, 
das  allgemeine  Integral  der  Gleichung  (2)  : 
y(X)  = (-i)*kf[X)-+-k'fl(X,i) 
1 J (_i)A— ikfX-\)-+-k'f^X-\,  1) W 
Bestimmt  man  nun  die  Constanten  so,  dass  F(m)=. 0,  welches 
immer  geschehen  kann , so  bricht  der  Keltenbruch  beim  mten 
Gliede  ab,  und  man  hat  den  Werth  der  ersten  m Glieder 
desselben: 
km-*-k'f i(0, 1)‘ 
5.  Der  Werth  von  F[X)  für  ein  sehr  grosses  X lässt  sich 
näherungsweise  folgendermaassen  finden.  Es  ist  für  ein  sehr 
grosses  x der  Werth  des  Differentialquotienten,  bis  auf  Grös- 
sen  von  der  Ordnung  — genau  xa~*~/,e  x , welches  für 
x = a- t~X  ein  Maximum  hat.  Betrachten  wir  nun  zwei  Dif- 
ferentialquotienten für  die  beiden  Werthe  von  x,  u und 
u H ^ — , so  findet  sich  das  Verhältnis  derselben: 
J* 
u (b  a D [u—  i)b-i-X-ie—u 
X-+-a\-(b-a- 1 
1-t r— ) e" 
/ X — i — ö\ 
V ~ 2~ / V'  ■ ' 2 
Da  angenommenermaassen  6^>a- 1-1,  so  ist 
f . X-x-ciSr 
_1\— (6— Û— l) 
Cf) 
oder 
/ h \ — (f> — o—i)  / u— 1-+ 
<*“)  >1 
^_Hax-(*-«-l) 
X—t—a 
1 — 
X- 
— (b — a — 1 ) 
Miltiplicirt  man  das  obige  Verhältniss  mit 
X-v-a  \ -( b-a-l ) 
M—  1 
U — 1 -+ 
/l- 
2 
so  erhält  man  demnach  ein  Product,  das  grösser  ist  als  das 
angegebene  Verhältniss: 
(«  — \)a+ke~u 
( a-t-X\a-*~À  _u_a1 
\ 1 2 / ß 
(w— 
2“)  « 
Nimmt  man  nun  « — 1 < so  ist  das  letzte  Verhältniss 
/■j/g  \ 
noch  kleiner  als:  f — J . Für  grössere  Werthe  von 
