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de  Mcadémie  de  Saint-Pétersbourg-. 
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a- 4- A ist  dieses  Verhältnis  weit  kleiner  als 
-Ä  ' 
Man 
kann  also,  wenn  man  Grössen  von  der  Ordnung  — vernach- 
lässigt, den  Differential quotienten  für  x — u gegen  den  für 
x = u-+-  vernachlässigen,  so  lange  u <[  Also 
auch  den  Theil  des  Integrals,  der  zwischen  x — 1 und 
A -4-  ß ..  -,  . , A + ß , 
x = hegt,  gegen  den  zwischen  x = — ■ - und  x=a, 
Z Z 
und  um  so  mehr,  da  der  Differentialquotient  immer  positiv 
ist,  gegen  den  Theil  von  x = bis  x = oo.  Nun  ist 
z 
-CO/  „ \ — (5  — a — 1) 
und  wenn  x > > die  Grösse 
(x — e~~  dx 
( — b — a — i) 
(éù 
bis 
1 
auf  Grössen  von  der  Ordnung  — von  der  Einheit  unter- 
schieden. Es  wird  daher  bis  auf  Grössen  dieser  Ordnung: 
ffi)  = jmz*+‘.-«+‘><U  = rV~a~li (7) 
J 
für  sehr  grosse  A bis  auf  Grössen  von  der  Ordnung  — genau. 
Die  Function  T ist  nach  der  Legendr eschen  Bezeichnung 
genommen  1). 
6.  Die  Function  /^(A,  1)  giebt  nur  in  zwei  Fällen  einen  an- 
geblichen Werth,  wenn  sie  nämlich  aus  einer  endlichen  An- 
zahl Glieder  besteht. 
1)  Wenn  5 — a — 2 eine  ganze  Zahl  =n  ist,  dann  ist 
die  Anzahl  der  Glieder  offenbar  n -4-  1.  Das  letzte 
Glied  ist 
(5  — i- A ■ — 1)  (5-1- A — 2)  ...  . (5-+- A — a). 
Die  vorhergehenden  sind  in  Beziehung  auf  dieses  blos 
1 1 
von  der  Ordnung  — , ^ etc.  Vergleicht  man  den  Werth 
mit  demjenigen  von  f( A)  für  ein  sehr  grosses  A,  so  ist  er- 
sichtlich, dass  er  verschwindet;  dass  man  also  in  der  Glei- 
chung (6)  k gegen  Ji  äusserst  klein  setzen  müsse,  damit 
.F(A)=0  werde.  Der  Nenner  des  Bruchs  wird  in  diesem  Falle 
nicht  verschwinden,  da  die  beiden  Glieder  positiv  werden, 
weil  beide  Functionen  ihrer  Natur  nach  positiv  sind.  Dieser 
Umstand  zeigt,  dass  die  beiden  Functionen  wesentlich  ver- 
schieden sind,  und  dass  also  (6)  den  vollständigen  Werth 
gieht.  Es  ist  daher  in  diesem  Falle  der  Werth,  gegen  den 
f (1  1) 
der  Kettenbruch  convergirt : a -+-  ■ ’ ..  und  man  sieht, 
fi  (0,  1) 
dass  derselbe  für  alle  Fälle,  wenn  5 — a eine  ganze  Zahl, 
gültig  ist. 
2)  Wenn  5 eine  ganze  Zahl  ist,  a aber  ein  Bruch.  Dann 
hat  man  für  ein  sehr  grosses  A,  das  letzte  Glied  von 
fi  (A,  1) 
I)  Siehe  Traité  des  fonctions  elliptiques  T.  II,  Chap,  VII, 
(b-t~Â — 1)  (6-4-A  — 2)...3.2.1  „ 
1.2.3...(6-»-A— 2).(6-4-A — 1)*  ^ a ^ (5  — a — 3)...(— a— A)— 
r |',t-4-/t— i^+fl+l)  L 
r(a — &— »—  2) 
Vernachlässigt  man  die  Glieder  von  der  Ordnung  —,  so  sind 
die  Factoren  etc.  der  Einheit  gleich.  Es 
folgt  also  unter  dieser  Annahme,  wenn  man  die  Glieder  in 
umgekehrter  Ordnung  nimmt: 
A(A,  i)  = 
r ^A-wm-1)  , i 1 ^ t . . 
( ‘ JT(a— 6-»-2)  * 1.2.3  ~*~1. 2.3.4  GtC' 
f |^H-A  — i +g+l) 
V 1 er(a  — fe— i—  2)  * 
Mit  (7)  und  (6)  verglichen  folgt  also , dass  man  setzen  könne 
um  F{oo)  = 0 zu  machen  : 
k = (-\)b,  k’=r{a- 5-1-2), 
und  dass  also  der  Grenzwerth  des  Kettenbruchs  wird: 
(-1)6-»-1  f(l)H-U(a  — 6-4-2)  h (1, 1) 
(~1)Ä  A0)-f-U(a  — fc-i-2)  fi  (0, 1)* 
z.  B.  wenn  a=| , 5=2,  so  ist  der  Werth  des  Kettenbruchs  : 
1 3 
-J  x~z  (x  — i)2 e~x dx-i~r±(l  — i.2-4-|^-|.2.1j 
/°°«-^  (*  - 1)  e~xdx -j-ri  (1  - |) 
Setzt  man  x = z 2,  so  wird 
,oo 
/UU  1 /-OO 
x~~z[x—  \)2e~xdx  = 2j  (*4— 2s2h-1 
Ji 
’dz. 
♦ F — 
und  wenn  man  / e~~zz dz  = h setzt, 
Ji 
f^° x % (x—i)z  e~rJcdx  = 1 — § h. 
Auf  ähnliche  Weise  ist 
f/X>x~~7î  [x  — 1)  e~ Xdx  = e~1 — h. 
*1 
Da  nun  ist  (tt  ist  halber  Kreisumfang),  so  wird 
der  Werth  des  Kettenbruchs 
fV;T*—  |e  1 — 
±VTC-t-e~1  — h 
Nach  Bessel’s  Tafeln  ist  5 = 0,13940,  also  der  Bruch  in 
Zahlen  1,340,  welches  mit  der  directen  Berechnung  völlig 
übereinstimmt.  Nach  der  Formel  des  Herrn  Professor  Stern 
findet  man  2,000. 
