371 
Bulletin  physico- mathématique 
372 
tangö=— • Die  Gleichung  für  die  Krümmung  der  Säule 
ö dx  ° b 
wird  nun,  wenn  man  den  Fiäcliendurchschnitt  in  /?,  z setzt: 
P . k2.y 
dd 
ds 
(i) 
Vernachlässigt  man,  wie  ich  in  Folgendem  thun  werde,  das 
Gewicht  der  Säulentheile,  so  bedeutet  P das  im  Punkte  A 
senkrecht  drückende  Gewicht,  k 2 eine  von  der  Elasticilät  und 
der  Form  des  Querschnitts  abhängige  Constante.  Da  man  die 
Säule  als  äusserst  wenig  gekrümmt  annimmt,  so  wird  sehr 
nahe  x = s,  tang 0 = 0 
d2y 
genommen  und  = — 
ds2 
jL. 
ds  ' 
Id  d2y  , 
- = (ds  als  constant  an- 
ls  ds2  x 
■ y 
Man  kann  ferner  die  For- 
mel sehr  leicht  auf  den  Fall,  dass  Pk2  = 1 ist,  reduciren; 
denn  nimmt  man  z = zrVP  . k,  so  wird 
d2y 
ds2  ; z,2 
Man  sieht  hieraus,  dass  bei  gleicher  Höhe  und  verschiedener 
Belastung,  die  Flächendurchschnitte  der  Säulen  sich  wie  die 
Quadratwurzeln  aus  ihrem  Belastungsverhältnisse  verhallen 
müssen.  Ehen  so  kann  man  die  zu  verschiedenen  Längen  der 
Säulen  bei  gleicher  Belastung  gehörenden  Flächeninhalte  der 
Querschnitte  bestimmen.  Setzt  man  nemlich  s = fi.sr,  wo  y, 
eine  Constante  ist , und  zf  = y 
z0  so  wird  ebenfalls  —0  = 
L ds.2 
2*  Das  Volumen  der  Säule  ist  im  ersten  Falle  fz,ds , im 
z<2. 
zweiten  fz2ds,  = y2f z,ds.  Hat  man  daher  eine  Säule,  deren 
Länge  S und  Volumen  V,  die  eine  gegebene  Last  zu  tragen 
vermag,  so  ist  das  Volumen  einer  ähnlichen  Säule  von  der 
/ S'2 
Länge  S , die  dieselbe  Tragkraft  hat:  — — V. 
2)  Aus  dem  Vorhergehenden  erhellet,  dass  man,  ohne  die 
Allgemeinheit  wesentlich  zu  beschränken,  setzen  könne: 
d2y  y 
ds2  z2 
Es  muss  nun  z als  Function  von  s so  bestimmt  werden,  dass 
das  Volumen  J'zds  ein  Minimum  werde.  Wenn  diese  Form 
der  Säule  richtig  bestimmt  ist,  so  muss  auch  für  jeden  Theil 
derselben  insbesondere  dieses  Minimum  Statt  finden.  Am  ein- 
fachsten wird  dieses  bewerkstelligt,  indem  man  die  zu  einer 
kleinen  Biegungsveränderung  eines  kleinen  Stücks  der  Säule 
gehörende  Veränderung  der  Dicke  bestimmt,  und  das  Inte- 
gral f zds  für  dieses  kleine  Stück  constant  setzt.  Es  sei  also 
das  Theilchen  der  Säule  zwischen  s = s0  und  s = s0  -+-  s, 
enthalten,  wo  sf  eine  kleine  Grösse  ist.  Damit  eine  Verände- 
rung in  der  Form  und  Krümmung  dieses  Theilchens  auf  die 
übrigen  Theile  der  Säule  keinen  Einfluss  habe,  oder  das 
Gleichgewicht  derselben  nicht  störe,  müssen  in  den  beiden 
Endpunkten  des  Theilchens  y,  oder  z unverändert 
GjS  (LS*" 
bleiben.  Man  erreicht  dieses,  wenn  man  y innerhalb  dieses 
Theilchens  um  die  Grösse  xcr3  (s,  — <r)a  verändert,  wo  tc  eine 
kleine  constante  Grösse  bezeichnet,  und  er  = s — s„.  Man  hat 
also,  wenn  man  mit  y , z die  veränderten  y und  z bezeichnet: 
y = y -+-  y,  (s,3cr3 — 3 s,2cr4 3 s,cr5 — as) 
— = - 5 -+-  jc  (6s,3(r  — 3Gs,2a2  -+-  GO s,cr3  — 30<x4) 
ds 2 ds2 
und  z2  = -V 
X'(s, 3c3  — .3 s,2o4  -+-  3 s,c5  — o6) 
d°-y 
= — i-  y.  (6s, 3o  — 36s,2o2  -+-  60  s,o3  — 30  <>4) 
und  wenn  man  blos  die  erste  Potenz  von  Ac  berücksichtigt: 
— 3s,2(74h-  3s, er5  — a6) 
î ==1  /— ~ -f-ijc-«  / (s,3cr3  — 3s, 
V(S)  y,a;o 
-y  ß 
f VdS2 . 
A 
2) 
(Gs2a— 36s,2er2-+-60s,o-3— 30ff4). 
Entwickelt  man  nun  die  beiden  Grössen 
yi 
Vi 
d2y\ 
V 
und 
m 
durch  Hülfe  des  Taylor ’sehen  Lehrsatzes  nach 
Potenzen  von  er  und  integrirt  f z da  von  a = 0 his  er  = s,,  so 
erhält  man,  wenn  man  bloss  Grössen  von  der  Ordnung  s,7 
beibehält: 
140 
f 1 da  (s,3a3  — 3s,2o4  -+-  3 s, er5  — er6)  = 
J o 
f ' da  (6s,3er  — 3Gs,2a2  -4-  G0s,er3  — 30er4)  = 0 
Jo 
f 1 ada  (Gs,3er  — 3Gs,2o2  -t-  G0s,a3  — 30er4)  = 0 
J o 
f ' a2da  (6s,3o  — 3G s,2o2  -+-  G0s,o3  — 30ff4)  — ^ s,7. 
J Q 70 
Die  übrigen  Glieder  sind  von  der  Ordnung  s,8  und  höheren 
Ordnungen,  können  also  vernachlässigt  werden.  Demnach 
wird  : 
f'  x da  = f$l 
J r\  J C\ 
zda  ■ 
d2 
280 
-y 
~ i 
— - 
\ / 
— 2/o_ 
/ d2y\ 3 
Qds2/ 
(d\^  280 
ds2 
Vo  V ds2 
Damit  man  also  das  Volumen  des  Säulentheilchens  unter 
demselben  Drucke  nicht  verringern  könne,  muss  man  haben  : 
d2 
y (??} 
— y 
!n3 
ds2/ 
ds2 
y y 
(3) 
