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de  l'Académie  de  Saint-Pétersbourg, 
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3)  Die  beiden  Gleichungen  (2)  und  (3)  geben  zwei  der 
Grössen  x,  y , z in  Functionen  der  dritten.  Um  sie  integriren 
zu  können,  setze  ich: 
y 
— y 
/dy\3 
w/ 
W; 
und  erhalte  so: 
(5) 
Es  ist  ersichtlich,  dass  man  — - negativ  nehmen  müsse,  wenn 
man  u positiv  nimmt,  da  es 
und  z : 
Y ä’ 
d2y 
Y 
- 1 . 
f / d2y'\  (d2y\ 
\ds2J  \ds2) 
Y M 
u-  y , . 
ds2  aber  immer  negativ  ist.  Multiplicirt 
man  die  Gleichungen  (5)  mit  du  und  dy  resp.  und  addirt  die 
Producte,  und  integrirt,  so  ergiebt  sich: 
= k - ly',  J 
Es  ist  aber  uy  = 
ds 2 
Y 
7/3 
d2y\ 
,ds2J 
■ 23  nach  (2).  Setzt  man  nun 
in  dem  Punkte  der  Säule,  wo  die  Tangente  an  der  Curve  der 
Säulenaxe  senkrecht  ist,  den  Flächeninhalt  des  Querschnitts 
— 1 , welches  man,  ohne  im  Wesentlichen  die  Allgemeinheit 
zu  beschränken,  thun  kann,  da  man  nach  1)  alle  Fälle  durch 
eine  einfache  Proportion  auf  diesen  reduciren  kann;  so  ergiebt 
sich,  da  ~ = 0 ist,  k — 3=0.  Also: 
dy  . du 
ds 2 
3 {yu)' 
(6) 
Multiplicirt  man  nun  ferner  die  Gleichungen  (5)  mit  u,  y 
resp.,  und  addirt  die  Producte  zu  dem  Doppelten  der  Glei- 
chung (6),  so  findet  sich  : 
d2(yu) 
ds2 
= G — 8 (yu) 2 
(7) 
Multiplicirt  man  ferner  diese  Gleichung  mit  2 d(yu)  und  inle- 
grirt,  so  erhält  man: 
\d[yu)]2 
ds2 
:k,2-f-12(i/w)-12(yu)3 (8) 
Substituirt  man  hierin  yu  = 2S,  so  ergiebt  sich  : 
3z2dz 
ds 
y(*,*-Hi2**  - 12  z*y 
(9) 
und  wenn  v das  Volumen  bedeutet: 
i 3 z2dz 
■ V 7(ä7-i-1223— 12*4) 
Mulliplizirt  man  die  Gleichungen  (5)  mit  u und  y resp.  und 
subtrahirt  die  Producte,  so  ergiebt  sich:  u — y — — 0 
ds 2 ds2 
wovon  das  Integral  u -J-  — y 
au 
ds 
■A  ist,  worin  A eine  Con- 
stante bezeichnet.  Es  ist  ferner,  da  uy  = z 3,  u — -+-  y 
ds 
du 
ds 
Also  zu  ^ = A -+-  3 s2  ^ 5 da  aber  u = — j so  hat 
ds  ds  ds  y 
man: 
dy 4ds  3 dz 3^1  dz  3 dz 
y 2 23  2 2 2 zV{1(,2  -+-  12z3  — 1 2z4)-*-  2 
mithin 
, _3J  r dz  3 , 
S y 2 J zY(k,2-+-  12z3  — 12«4)  2 °g  Z' 
An  beiden  Grenzen  wird  y = 0,  also  log  y = — oo.  Dieses 
kann  nur  stattfinden,  wenn  z==  0 wird.  Es  müssen  also  die 
beiden  Integrale  (9)  und  (10)  zwischen  den  beiden  Grenzen, 
wo  2 = 0 ist,  genommen  werden. 
4)  Es  ist  jetzt  nur  die  Constante  kr  zu  bestimmen,  xmd  zwar 
nach  der  einfachen  Methode  der  Grössten  und  Kleinsten.  Es 
seien  die  Integrale  (9)  und  (10)  zwischen  den  genannten  Gren- 
zen genommen  S und  V;  oder  S die  Länge  der  Säule,  und  V 
das  Volumen  derselben.  Nach  (I)  ist  also  das  Volumen  einer 
Säule  von  derselben  Tragkraft  und  von  der  Länge  = 1 : 
F 
U = - j*  Die  Grösse  kf  muss  also  so  bestimmt  werden,  dass 
U ein  Minimum  werde,  oder 
S3dU  = SdV  — 2 VdS  = 0 . ......  (11) 
Es  ist  ersichtlich , dass  die  Säule  aus  zweien  gleichen 
Stücken  besteht,  indem  je  zwei  Theilchen,  die  gleich  weit  von 
beiden  Enden  entfernt  sind,  gleiche  Dicke  haben.  In  der  Mitte 
der  Säule  muss  also  die  grösste  Dicke  stattfinden,  oder  2 den 
grössten  Werth  haben.  Nach  3)  muss  dieser  Werth  grösser 
als  1 sein,  da  in  dem  Punkte,  wo  die  Curve  der  Säulenaxe 
eine  senkrechte  Tangente  hat,  z angenommenermassen  = I 
ist.  Es  sei  dieses  grösste  z — ß.  Da  nun  in  dem  Punkte  der 
dz  * • • 
grössten  Dicke  ~ = 0,  so  muss  das  Radical  in  der  Gleichung 
(9)  für  den  Werth  z = ß verschwinden,  oder 
kß  -+- 12/?3  - l2ßA  = 0 (12) 
sein. 
Statt  nun  diese  Integrale  von  z = 0 bis  z = ß , und  wieder 
von  2 = ß bis  2 = 0 zu  integriren,  um  S und  V zu  erhallen, 
kann  man  wegen  der  Gleichheit  beider  Stücke  das  Integral 
von  2 = 0 bis  z = ß doppelt  nehmen;  also  wird: 
