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Bulletin  physico  - matliématique 
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f- 
•'o 
bs2dz 
2 -H  12  a3  — 12z4)’ 
/ 
bz3dz 
0 V(fc,2-i- 12z3  — 12z4) 
Substituirt  man  hierin  z = ß [ 1 — r),  so  werden  die  Grenzen 
r = 0 und  r = 1 , und  mit  Berücksichtigung  von  (12)  erhält 
1 
man,  wenn  man  zugleich  — = a setzt: 
s=r 
Y%.ß.(l  — t)2  dt 
V=L 
o Y[(4  — 3«)  z — (6  — 3a)  i2  -+-  (4  — a)  z3  — z4] 
1 Y3ß2  (1  _ t)3  dt 
0 ~/[v4  — 3a)  z — (6  — 3a)  z2  -i-  (4  — a)  z3  — z4] 
Essei  S = ßSr,  V — ß2  V';  also  V= ~ 
5 und  ebenfalls  ; 
und 
c'_  r1 ^(i 
K Y\ (4  — 3 a)  z — (6  — ; 
S'3dU=S'dV'  — 2V'dS' 
Y 3 (1  — t)2  dz 
’ o ^[(4  — -3a)  r — (6  — 3a)  z2  -+-  (4 
t/3  (1  — t)3  dt 
■ a)z3  — z4] 
y'=  r1 V3J! 
K Y f(4  — 3a)  x — (6  — 
(13) 
(H) 
0 Y 1(4  — 3a)  x — (6  — 3a)  z2  -+-  (4  — a)  x3  — x4] 
Diflerentiirt  man  diese  Gleichungen  in  Beziehung  auf  a,  so  er- 
gieht  sich: 
1 
dS' 
da 
>-=r — 
* Jo  1(4  — Sa 
dVf  __  />* 
da  J n 
Y\  (1  — x)2  (3z  — 3x2  H-  x3)  dt 
3a)  z — (6  — 3a)  x2-t-  (4  — a)  i3  — z4]2 
Y\  (1  — x)3  (3x  — 3x2  -+-  z3)  dt 
.(15) 
0 [(4  — 3a)  x — (6  — 3a)  z2 
— a)  z3  — i4p 
Aus  der  Gleichung  (12)  ersieht  man  leicht,  dass,  da  ß nicht 
kleiner  als  1 sein  kann,  k2  nicht  negativ  wird;  mithin  da  die 
Gleichung  k2  -+- 12 z3  — l2,z4  = 0 nur  zwei  reelle  Wurzeln 
haben  kann:  eine  positive  z = ß und  eine  negative:  dass  das 
Radical  in  (15)  innerhalb  der  Grenzen  für  die  Säule,  ausser 
r = 0 keine  Wurzeln  hat.  Es  wird  also  immer  positiv  ange- 
nommen; und  es  bleiben  ebenfalls  die  Zähler  innerhalb  die- 
ser Grenzen  positiv,  und  zwar  ist  der  Zähler  in  jedem  Theil- 
d$f 
chen  von  — grösser  als  in  den  entsprechenden  Theilchen  von 
dV 
— 5 da  1 — x zwischen  0 und  1 liegt.  Es  wird  hinfolglich 
da  b b 
dS'  dY 
da  da 
(16) 
Es  sei 
iF-=2r 
L Y\(4-C 
Y 3 (1  — z)2  (1  — 2x)  dt 
’0  Y[{4— 3a)  z — (6— 3a)  z2-t-  (4 — a)  x3  — z4] 
Dilîerentiirt  man  die  Grösse 
Q = 2 V3  (1 — x)3  V [(4  — 3a)  x — (6 — 3a)  r2-t-  (4 — a)  x3 — r4J 
nach  x,  so  ergiebt  sich  dQ  — 
•/3(l-x)2[(4— 3a)-(40— 27a)x-f-(60— 27a)x2-(40-9a)x3->-10x4]dx 
Y [(4 — 3a)  z — (6 — 3a)  z2  -t- (4 — a)  i3  — i4] 
Aus  diesen  beiden  Gleichungen  erhält  man  : 
6(1  — a)  IE-  f\lQ 
/,1'/3(1— x)2[2-3a-+-(28— 15a)z -(60— 27a)x2-t-(40—  9a)z3  — 10x4]dz 
•'0 
=/ 
0 t/*[(4— 3a)  z — (6— 3a)  z2-+-  (4— a)  x3— x4] 
1 -/3  ( 1 _ T)3  [2  _ 3«  -+.  (30  — 1 8a)  z - (30— 9a)  z2-t-  10x3]  dt 
0 
Y f(4 — 3a)  x — (6 — 3a)  z2  -4-  (4  — a)  z3  — i4] 
Der  Factor  ß — 3a  -+-  (30  — 18a)  x — (30  — 9a)  x2  -+-  10r3 
hat  sein  Maximum  und  Minimum  wenn  0=30  — 18a  — 
(60  — 18a)  t -+-  30r2,  oder  wenn  x = 1 und  x = 1 — 0,6a. 
Für  diese  beiden  Werthe  wird  der  Factor  12  (1  — a)  und 
12(1  — a)  H-  1,08a3,  also  in  beiden  Fällen  positiv,  da  a <1 
ist.  Für  die  eine  Grenze  t = 1 haben  wir  schon  einen  positi- 
ven Werth  gefunden;  für  die  Grenze  t = 0 wird  der  Factor 
2 
aber  2 — 3a.  Wenn  also  a ■<  — ist,  so  ist  dieser  Factor  be- 
O 
ständig  positiv,  und  demnach  auch  das  Integral  positiv.  Zwi- 
schen den  Grenzen  x = 0 und  x = 1 ist  fdQ  = 0.  Also 
weil  a <(  1 und  mithin  1 — a positiv,  ist  (1  — a)  W,  oder 
auch  W=2V’  — S'  positiv,  unter  der  Voraussetzung,  dass 
«<y 
Aus  den  Gleichungen  (14)  ergiebt  sich: 
4 V' — 3 aS'=  2 V3 ;/ V V[(4-  3a)  x—  (6— 3a)r2-+-(4-a)r3  - t4] 
= 2V3  V(1  — a) 
oder 
2 F,~S,=  (-|a— l)  S'-h2V3  V(1  - a), 
also  auch  2 F'>  S , wenn  a > —•  Demnach  in  allen  Fällen 
2Vr  > S\  und  nach  (16)  — > — • Nach  der  Gleichung  (13) 
^ ' da  ^ J- 
da 
dü 
wird  demnach  — immer  negativ;  so  dass  der  kleinste  Werth 
da 
von  U für  den  grössten  Werth  von  a,  oder  für  den  kleinsten 
Werth  von  ß stattfinden  muss.  Nach  den  angenommenen  Be- 
zeichnungen ist  der  kleinste  Werth  von  ß — l;  folglich  in 
(12)  ki  = 0. 
5)  Es  ergiebt  sich  also  die  vollständige  Auflösung,  wenn 
man  in  die  Gleichungen  (9)  und  (10)  kf  = 0 setzt: 
ds  = 
yz.Yz.dz 
Y\  zïdz 
) dv  = -A -> 
Y (1 — z) 
Y(  1 - *) 
worin  die  Integrale  von  z = 0 bis  z = 1,  und  wieder  von 
z — 1 bis  5 = 0 genommen  werden  müssen.  Sei 
z = cos  ö2 • • • (17) 
— 2sinfl  cosö dd,  so  wird,  wenn  man  statt  die  In- 
7t  * • ^ • 
— bis  0 zu  nehmen,  und  von  0 bis  — ? sie 
2 z 
also  dz  : 
tegrale  von 
von  — ~ bis  h-  %-  nimmt: 
2 2 
