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de  ri(*ad('mio  de  Sahit-Pctersbourg, 
3?§ 
ds  = V3  cos02  dß;  dv  — V 3 cos 0*  . dd. 
Hieraus  ergiebt  sich: 
s = ^ (20  H 
4 
Es  wird  also 
S: 
sin20); 
rrV3 
v = -^  (120-+-8  sin20-t-sin40)  (18) 
*jJà 
x,  3n.Y3 
y = — ^ — > 
u = 
Y3 
2 
Setzt  man  bei  einer  Säule  von  gleichförmiger  Dicke,  und  ähn- 
lichen Durchschnittsflächen,  wie  bei  der  obigen  z = 1 in  die 
Gleichung  (2),  so  ergiebt  sich: 
ij  = E sin  (s  -+-  A) , 
wo  E und  A Constanten  sind.  Die  Länge  der  Säule  muss  zwi- 
schen zweien  nächsten  Werlhen  von  s genommen  werden, 
wo  y = 0,  oder  von  shhA  = 0 bis  s-t-A  = 7x.  Die  Länge 
dieser  Säule,  die  dasselbe  Gewicht  trägt,  wie  die  zweckmäs- 
sigste,  und  deren  constanter  Querschnitt  den  Flächeninhalt 
= 1 hat,  ist  also  tx , und  das  Volumen  ebenfalls  iz.  Das  Vo- 
lumen einer  solchen  Säule  von  der  Länge  1 und  derselben 
Tragkraft  ist  demnach  ^ j oder  es  verhält  sich  zum 
Volumen  der  zweckmässigsten  Säule  von  derselben  Trag- 
kraft wie  1 } wie  ich  im  Anfänge  dieses  Aufsatzes  er- 
wähnte. 
Substituirt  man  in  die  zu  Ende  des  dritten  Abschnittes  ge- 
fundene Gleichung  kt  = 0 und  z — cos02,  so  findet  man 
dy  Y 3 Â dd 
y 
2 cose1 
3tang0d0. 
Die  Constante  A jnuss  so  bestimmt  werden,  dass  wenn  0 = 0, 
dy  auch  =0  wird;  es  wird  also  A= 0 und  log  y = 31og  (cos0) 
H-  Const.,  oder-. 
k 
y — 
cos©3 
(19) 
sehen  Schluss  geführt  wurde.  Eine  solche  Säule  kann  man 
eine  Stütze  nennen,  die  nur  dazu  dient,  um  das  Einsinken  ei- 
nes schwer  belasteten  Bodens,  oder  eines  Gewölbes  zu  ver- 
hindern. 
Anders  aber  verhält  es  sich,  wenn  die  Säule  frei  stehend 
eine  schwere  Kuppel  oder  sonstige  Lasten  trägt.  In  diesem 
Falle  ist  das  untere  Ende  des  Säulenschafts  mit  einem  breiten 
Fusse  fest  verbunden,  wodurch  bewirkt  wird,  dass  die  Tan- 
gente an  der  Krümmungscurve  der  Säulenaxe  im  untersten 
Punkte  fortwährend  senkrecht  bleibt.  Ich  füge  die  Auflösung 
für  diesen  Fall  hinzu,  indem  ich  eine  vollkommene  Elasticität, 
wie  vorhin,  voraussetze. 
Aus  der  Gleichung  am  Ende  des  dritten  Abschnitts  folgt 
ebenfalls  für  diesen  Fall  für  das  Ende  der  Säule  z = 0 oder 
t—  I.  In  der  Gleichung  (G)  ist  angenommen,  dass  am  untern 
Ende,  wo  die  Tangente  an  der  Säule  in  diesem  Falle  senk- 
recht ist,  z = 1 . Es  müssen  also  die  Integrale  (9)  und  (10)  von 
2 = 0 bis  z = 1 genommen  werden,  wobei  zwei  Fälle  Vor- 
kommen : 
I)  Wenn  die  Säule  von  unten  an  verjüngt  ist,  so  dass  die 
dickste  Stelle  nicht  daran  vorkömmt,  und  also  2 immer  < 1. 
Die  Gleichungen  (9)  und  (10),  die  auch  in  diesem  Falle  gelten, 
geben: 
— 8F-+-6S  = fdV[kf2-t-\2z3  — l2.z4)  . . (20) 
Da  das  Radical  an  beiden  Enden  positiv  genommen  werden 
muss,  und  sich  gleich  ist,  so  hat  man: 
Q dV 
6S=8r,  °d«’'=4S'  wj  = 
und  in  die  Gleichung  (11)  substituirt; 
3 dS 
4 d(k?)  9 
Ç3  3 ü_  1 Js  . 
b d(l,Y)  — 2"  dlkS 
Es  ist  aber 
dS  3 r 1 3 z- dz 
d(/c,2)  ~~  2 J0  [/f,2  12  z3  — 1224]2 
Es  lassen  sich  nun  die  gefundenen  Ausdrücke,  als  der  Glei- 
• • • ds 
chung  (2)  Genüge  leistend  verificiren.  Es  ist  nemlich  — = 
V3 
COS  I 
dy 
ds 
3sin0  cos02 
k 
dd 
ds 
- Y 3 : 
dYy 
ds 2 
1 
y 
— mit  der  Gleichung  (2)  über- 
— Y 3 cos0  dd 
k ds  k cos  0 
einstimmend. 
6)  In  dem  Vorhergehenden  haben  wir  die  Gestalt  einer 
Säule  gesucht,  die  bei  gegebener  Länge  und  Belastung  das 
kleinste  Volumen  enthält,  indem  wir  annahmen,  dass  die  bei- 
den Endpunkte  in  derselben  Verticale  bleiben,  und  die  Säule 
in  der  Mitte  nach  einer  Seite  gekrümmt  würde.  Man  sieht 
leicht,  dass  wenn  das  Gewicht  der  Säule  vernachlässigt  wird, 
die  Säule  an  beiden  Enden  eine  symmetrisch  gleiche  Gestalt 
haben  müsse,  welches  Lagrange  bei  der  Wahl  seiner  Bei- 
spiele übersehen  zu  haben  scheint,  wodurch  er  auf  einen  fal- 
eine  negative  Grösse, 
mithin 
dü 
W) 
positiv,  und  also  U ein 
Kleinstes  für  lc,2  = 0.  Es  ist  zu  bemerken,  dass  k 2 nicht  ne- 
gativ werden  kann,  da  sonst  die  Säule  für  2=1  nicht  statt- 
finden könnte. 
2)  Wenn  über  dem  untersten  Punkte  eine  dickere  Stelle 
ist,  so  hat  man,  wenn  man  die  Gleichungen  (13),  (14),  (15)  an- 
wendet, im  untersten  Punkte  !=/?(!  — x),  also  t = 1 — • a. 
Es  müssen  also  die  Integrale  in  (14)  und  (15)  von  x = 0 bis 
r = 1 — a und  von  x = 0 bis  x = 1 genommen  werden,  und 
beide  Werthe  addirt.  Man  erhält  auf  diese  Weise 
4F-  3«5/  = 4V3V(l  -a) 
und  da 
v'=a2v,  S ==aS;  4F-  3S  = 4/3(1  ~1, 
demnach  4F^>  3S.  Es  sei 
