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Bulletin  pliysico  - mathématique 
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Fackeln.  Hiefiir  spricht  nun  auch  ganz  besonders  der  Umstand 
dass  sich  gerade  an  der  Stelle  wo  sich  das  Horn  c erhob, 
bedeutende  Störungen  in  der  Sonnendecke  durch  Fackeln 
und  durch  eine  Sonnenfleckgruppe  zeigten.  Diese  Gruppe  be- 
fand sich  im  Mittel  ungefähr  nur  80  von  der  Stelle  des  Son- 
nenrandes entfernt,  dessen  Winkelabstand  vom  Nordpuncte 
1 12°  war,  und  nordwestlich  von  derselben  zeigten  sich  beson- 
ders lebhafte  Fackeln  hart  am  Sonnenrande.  Desgleichen  be- 
fand sich  auch  der  an  der  Ostseite  der  Sonne  bemerkte 
längliche  Sonnenfleck  mit  entsprechenden  Fackeln,  sehr  nahe 
der  Stelle  wo  die  Vorsprünge  a und  b beobachtet  sind.  Ein 
inniger  Zusammenhang  zwischen  den  Sonnenflecken,  denFak- 
kein  und  den  Vorsprüngen  ist  daher  unzweifelhaft;  welcher 
Art  aber  dieser  Zusammenhang  sei,  darüber  müssen  wir  von 
dem  Complex  aller,  bei  Gelegenheit  dieser  Sonnenfinsterniss 
angestellten  Beobachtungen  eine  weitere  Aufklärung  erwarten. 
Pulkora,  31  Juli  (12  August)  1851. 
2.  IVOTE  SCR  LE  TRAITE  DE  TRIGONOMETRIE  A l’ü- 
SAGE  DES  ÉCOLES  MILITAIRES;  PAR  M.  OSTRO- 
GRADSRY.  (Lu  le  8 août  1851.) 
M.  Ostrogradsky  ayant  été  chargé  de  la  rédaction  d'une 
instruction  relative  à l'enseignement,  aux  écoles  militaires,  de 
quelques  branches  des  Mathématiques  élémentaires,  commu- 
niqua à l’Académie  la  partie  de  son  travail  concernant  la  Tri- 
gonométrie, la  seule  qui  soit  entièrement  achevée. 
M.  Ostrogradsky  part  d’une  idée  qui  a dû  se  présenter 
aux  premiers  auteurs  qui  traitèrent  de  la  résolution  des  tri- 
angles; elle  consiste  à former  des  tables  pour  les  triangles 
rectangles,  où  se  trouveraient  les  rapports  des  côtés  de  l’angle 
droit  à l’hypoténuse,  pour  toutes  les  valeurs  d’un  des  angles 
aigus  du  triangle.  Au  moyen  de  ces  tables,  les  triangles  rec- 
tangles se  résoudraient  par  les  l’ègles  les  plus  simples  de  la 
proportionnalité,  et  la  trigonométrie  ne  consisterait  que  dans 
la  réduction  de  la  résolution  des  triangles  obliquangles  à l’u- 
sage des  mêmes  tables. 
Trois  théorèmes  mènent  à ce  dernier  but;  le  premier,  qui 
consiste  dans  la  proportionnalité  des  côtés  du  triangle  aux  si- 
nus des  angles  opposés,  se  démontre  très  facilement  et  ne  de- 
mande rien  que  la  définition  des  sinus;  mais  les  deux  autres 
exigent  qu’on  sache  quelques  propriétés  des  quantités  trigo- 
nométriques,  en  sorte  qu’en  partant  de  l’idée,  que  la  trigono- 
métrie consiste  dans  la  résolution  des  triangles,  on  abandonne 
cette  idée,  pour  n’y  revenir  qu'après  avoir  parlé  assez  lon- 
guement des  diverses  propriétés  des  sinus,  ce  qui  pourrait 
ne  pas  satisfaire  les  commençants.  M.  Ostrogradsky  s’est 
proposé  de  ne  pas  perdre  de  vue,  pour  un  seul  instant,  l'objet 
de  la  trigonométrie,  et  par  suite,  il  devait  démontrer  les  deux 
derniers  des  trois  théorèmes  dont  il  s’agit,  sans  faire  usage  des 
propriétés  des  sinus.  C’est  à quoi  il  parvient  très  facilement. 
Supposons,  avec  M.  Ostrogradsky,  que  dans  un  triangle 
ABC,  on  connaît  deux  côtés:  CB  = a,  CA  = b,  et  l’angle  C 
qu'ils  comprennent.  Les  parties  inconnues  sont  les  angles  A 
et  B et  le  côté  AB  = c.  Supposons  que  des  deux  côtés  don- 
nés a et  b,  le  premier  soit  le  plus  grand,  et  après  avoir  pro- 
longé le  second  b dans  les  deux  sens  et  pris  CD  = CE  = a, 
et  mené  BD  et  BE , il  est  facile  de  voir  que  la  somme  des 
angles  AEB  et  EBA  est  A,  et  que  leur  différence  CBE  — EAB, 
à cause  de  CBE  = AEB , est  B:  donc 
AEB 
EBA  = 
de  même,  la  somme  des  angles  ABD  et  BD  A est  2D  — A , et 
leur  différence  ABD  — CBD , à cause  de  CBD  = BDC , est 
B.  donc 
A — B 
ABD  = D — — 2 — 5 
BDC  = D — 
Cela  posé,  le  théorème  relatif  à la  proportionnalité  des  côtés 
aux  sinus  des  angles  opposés,  appliqué  aux  triangles  ABE  et 
ABD  donnera 
AE  a — 6 
. A — B 
2 
AB  c 
A -4-  B 
Sln  — S — 
A + B 
cos 
AB  c 
2 
AD  a-t-fc  — 
A — B 
eos  — 
donc  en  multipliant 
A — B 
tang  — — 
a — b 2 
a-t-6  A-t-B 
tanB  — 
puis,  nous  aurons  c par  une  des  deux  équations  précédentes. 
En  appliquant  le  théorème  exprimé  par  la  dernière  équa- 
tion à chacun  des  triangles  ABE  et  ABD,  nous  trouverons  sur 
le  champ 
a-t-c  — b 
b-t-c  — a 
tan  g 
tang 
B 
a-t-6  — c 
a -h  b-i-c 
donc  en  multipliant  et  faisant  pour  abréger  a -+-  b -+-  c = 2p. 
