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Bulletin  physlco  - mathématique 
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oc  s2  . . = 51s 
Aus  diesen  Zahlen  ergeben  sich  die  Mittel 
m - — cia  s — i—  ab  s4 
mi  = ob  s -4-  bb  s,  i bc  s2  . . = & s 
m2  = oc  s -+-  be  sl  i cc  s2  . . ==  (±s 
u.  s.  w. 
Diese  Mittel  geben  durch  die  angenommene  Potenzreihe  die 
ausgeglichenen  Beobachtungen 
L\  L",  L" 
und  die  Grenzabweichungen 
k = l — L,  k = I — L u.  s.  w. 
Zur  Prüfung  dienen  die  Gleichungen 
Am  = s,  Bm  = s,,  Cm  — s2  u.  s.  w. 
k = 0,  ak  = 0,  erk  =0  u.  s.  w. 
Noch  sei 
sm  -+-  Sj  Wj  h-  s2m2  — sm 
so  ist 
kk  - kl  = U~  LI  = II  — sm 
Die  Grenzabweichungen  sind  nicht  als  Beobachtungsfehler 
anzusehen,  sondern  als  Ausgleichungsfehler,  welche  sämmt- 
lich  verschwinden , wenn  in  der  Polenzreihe  soviel  Mittel 
oder  Glieder  angenommen  werden,  als  Beobachtungen  vor- 
handen sind,  also  wenn  r = n ist. 
Den  Mitteln  m,  mv  m2  . . entsprechen  die  mittlern  Aus- 
gleichungsfehler b,  bp  b2  . . . Man  berechnet  sie  durch  die 
Ausdrücke 
an  . kk 
b . b = ^ 
bb  . kk 
u.  s.  w. 
Die  Sicherheit  der  gefundenen  Mittel  wird  angezeigt  durch 
die  Verhältnisse 
u.  s.  w. 
b b,  b2 
— 5 5 
m m1  m.j. 
Der  Ausgang  oder  Nullpunkt  der  n befinde  sich  in  dem  An- 
fang der  Beobachtungsreihe.  Die  wirkende  Ursache  a sei 
gleichmässig  fortschreitend  nach  den  natürlichen  Zahlen  Î, 
2,  3 u.  s.  w.  bis  n.  Setzt  man  n (»  -+-  1)  ==  v,  so  sind 
die  Potenzsummen  : 
a = iv. 
1 *«2 
= i\v2(2v- 1), 
fT=  1 (2«Hhl)t>, 
(2n+l)t(3®— I), 
(2/i-t-l)«  [?,v~ — 
«d  — ^v2{3v2— 4tH-2),  <^=iö  (2«h-1)o  (5r3  10r2-t-9r— 3) 
u.  s.  w. 
Die  allgemeinen  Ausdrücke,  welche  hieraus  für  oo,  ob  . . bb  . . 
folgen,  habe  ich  zum  Theil  in  der  oben  erwähnten  Abhand- 
lung gegeben.  Ich  übergehe  sie  hier,  weil  ich  sogleich  ein 
einfacheres  Verfahren  anzeigen  werde. 
Noch  ist  folgende  Bemerkung  zu  machen.  Es  seien  0, 
©j,  ©2  ...  so  bestimmt,  dass 
s = 
= n 
w,  ^ 
= 
a ©4,  s2  = a 2 •Jc2  u 
. s.  w 
ferner  seien 
f,  d,  t 
u. 
s.  w.  so  berechnet,  dass 
r 
= 
n oo, 
= a ob,  r,  = ar  oc 
d 
= 
n ob. 
= a bb,  d2  = a2  H 
. . . 
t 
= 
n oc, 
fl 
ö) 
%) 
II 
<S 
i) 
«) 
II 
. . . 
u.  s.  w. 
Dann  ist 
r i 
rl 
-h  r2  . . = j^  = 1 
cru 
i 
T 
H-  d2  . . = £ = 0 
t i 
fl 
“+■  f2  • • — t =0 
u.  s.  w. 
in 
= r© 
-t- 
- + ^2  • • = 
r© 
mL 
= 60 
H- 
- • • = 
d© 
m2 
= t© 
-4- 
- t1©1  -4-  t2©2  . . == 
t© 
u.  s.  w. 
Diese  Vereinfachung  ist  indess  nur  eine  scheinbare.  Die 
Produkte  aus  denen  die  Mittel  m,  mL,  m2  . . . zusammen- 
gesetzt sind  , bleiben  dieselben  und  geben  die  gesuchten 
Mittel  durch  Unterschiede  grosser  Zahlen. 
Es  zeigt  sich  aber  ein  Weg  auf  welchem  eine  wirkliche 
Vereinfachung  und  Abkürzung  erlangt  wird.  Es  scheint  mir, 
dass  dieses  Verfahren  auch  bei  der  Ausgleichung  astrono- 
mischer Beobachtungen  mit  Vortheil  anwendbar  sein  dürfte. 
Zuerst  sei  bemerkt,  dass  es  gleichgültig  ist,  wo  man  den 
Nullpunkt  oder  Ausgang  der  a annimmt,  da  man  ihn  leicht 
auf  eine  andere  Stelle  verlegen  kann. 
Es  sei  z.  B. 
L = m - f-  aml  -+-  arm2  -+-  a3m3  . . . 
und  man  wolle 
U jU  i ~ &Ci  ! - a* 
wo 
“V3 
= a -t-  b 
SO  ist  : 
fj,  = m -+-  6m1 
Ci  - nh 
Ci  == 
C3  =— 
m.  = 
b°-m2 
2b 
b*m3 
362m. 
3 b m3 
m.. 
b4mi  . . 
5 63m4  . . 
G b2mi  . . 
4 b m4  . . 
m,  . . 
Durch  gehörige  Wahl  von  b kann  also  das  Anfangsglied 
oder  irgend  ein  anderes  Glied  der  Reihe  L weggeschafft 
werden. 
Wenn  die  Beobachtungsreihe  eine  Mitte  hat,  so  sind  die 
Ursachen  paarweise  gleichweit  von  der  mittleren  Ursache 
entfernt,  die  eine  kleiner,  die  andere  um  eben  so  viel  grös- 
