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de  l'Académie  de  Saint-Pétersbourg, 
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se r als  die  mittlere.  Bei  einer  solchen  Beobachtungsreihe 
verlege  man  den  Ausgang  der  a in  die  Mitte,  indem  man 
die  mittlere  Ursache  von  den  übrigen  abzieht.  Man  theile 
auch  zur  Vereinfachung  die  Unterschiede  mit  einem  gemein- 
samen Theiler.  Die  ßeobachtungsreihe  besteht  dann  aus  zwei 
Hälften,  deren  eine  die  positiven  a,  die  andere  die  ihnen 
gleichen  negativen  a enthält. 
Diese  Annahme  des  Ausgangs  bewirkt,  dass  die  Potenz- 
summen von  ungeraden  Exponenten  verschwinden,  es  mögen 
die  a gleichmässig  oder  ungleichmässig  fortschreiten  : 
a = 0,  a2  = 0,  ah  — 0 u.  s.  w. 
Aus  dem  Verschwinden  der  ungradnamigen  Potenzsumme 
folgen  zwei  unabhängige  Systeme.  Das  eine  System  giebt 
die  Mittel  gerader  Stelle,  das  andere  die  Mittel  ungerader 
Stelle.  Es  sei  z.  B. 
L — rn  -t-  am1  -I  a m 2 -+-  a3m3  I «4m4 
so  sind  die  Bedingungsgleichungen  beider  Systeme 
[ s 
— 
n 
m 
-+- 
o 
a~ 
-4- 
a* 
m4 
^ 
— 
I , 
— 
a2 
m 
1 
a4 
mz 
-1 
aG 
m4 
1 S4 
= 
«4 
m 
-+ 
a* 
- 1 
a8 
' — - 
' 
— ' 
( 
, SI 
— 
a2 
mx 
-+- 
a4 
11 
— 
a4 
m. 
t 
a6 
( 
Statt  eines  fiinfgliederigen  Systems  hat  man  also  ein  drei- 
gliederiges  und  ein  zweigliederiges  System  aufzulösen. 
Es  sei 
L = am. 
ame, 
1 . « ..*2  ■ I*  .,»3  . I*.  "‘4 
so  sind  die  Bedingungsgleichungen  beider  Systeme 
II. 
III. 
si 
il 
mi 
fl4 
m3 
S 3 
— a4 
ml 
H- 
a6 
m3 
= fl4 
«2 
-4- 
«6 
mA 
S4 
II 
»*2 
— t- 
as 
Statt  eines  viergliederigen  Systems  sind  hier  zwei  zweiglie- 
derige aufzulösen. 
Es  habe  ferner  die  Beobachtungsreihe  nicht  nur  eine  Mitte, 
sondern  ausserdem  eine  gleichmässig  fortschreitende  Ursache. 
Nach  Verlegung  des  Ausgangs  in  die  Mitte  und  nach  Thei- 
lung  der  Unterschiede  durch  einen  Gemeinlheiler  erhält  man 
in  jeder  Hälfte  dieselbe  Reihe  gleichmässig  wachsender 
Zahlen.  Wenn  die  Anzahl  n der  Beobachtungen  ungerade 
ist,  so  kommt  man  auf  die  natürlichen  ganzen  Zahlen  1, 
fl  | 
2,  3,  . . . — jr — , ist  aber  n gerade,  so  erhält  man  die 
Yl  | 
halben  ungeraden  Zahlen  A,  |,  |,  . . . — — — . 
Bemerkenswerth  und  wie  mir  scheint  noch  nicht  ange- 
zeigt, ist,  dass  für  die  halben  ungeraden  Zahlen  |,  |,  | . . 
der  Ausdruck  der  Potenzsumme  bei  geraden  Exponenten 
ganz  derselbe  ist,  wie  bei  den  natürlichen  Zahlen  1,  2,  3 . . 
In  beiden  Fällen  sei  nämlich  n2  — 1 = 4»,  so  sind  die 
doppelten  Potenzsummen  gerader  Exponenten 
a2  = \nv 
» hnv  (>—  I) 
aG  = ^{nv  (3t2— 3r-f-l) 
a 8 = 7^nv  (5t3 — 1 0f2— i— Dv  — 3) 
al0=  53 nv  (■ v — I)  (3t3 — 7t2-i-10t — 5) 
u s.  w. 
Folgende  Gleichungen  zeigen  die  gegenseitige  Abhängig- 
keit dieser  doppelten  Polenzsummen,  wobei  die  Binomial- 
zahlen  bezeichnet  sind  durch 
1 x 2 x(x—  1)  3 x{x—l){x—% 
x — 1 » x — ! . 2 ’ Æ — 1.2. 3 U'  6 
nv = 3 a 2 
1 1 3 
= 5 a4-t-5  a 2 
wt(t2-t-4tH-5) = 7 aj-t-7  a4-f-7  a2 
nt(t3H- 5«2-f-6r-+-7)  . . . = Î)  as-f-i)  a6-t-9  a4-+-9  az 
nt(t4-4-6t3-+-7t2-t-8t-i-9)  — 1 1 al0-+-l  las+l la6+l la4+lla2 
u.  s.  w. 
Die  aufzulösenden  Systeme  sind , wie  oben  gefunden 
worden  : 
Für  fünf  Glieder  von  L gelten  folgende  Auflösungen  : 
Zwei  Glieder  von  I. 
45  N = nv  (4  v — 3) 
15  N (Ui  ==i  v (3«  — I) 
— 5 N ab  = v 
JV  bb  — ! 
Drei  Glieder  von  I. 
11025  N = 
735  N act  = 
— 2 IN  ab  = 
35  N ac  =• 
5 N bb  = 
—7  N bc  = 
N cc  = 
4 nv  [v — 2)  (4t — 3)  (4» — 15) 
v (v — 2)  (15t'2  — 5 0 r-f- 1 2) 
t>  (t — 2)  [2v — 3) 
3 t [v — 2) 
4t2 — 8t-t-5 
6t — 5 
1 
* 
