Æ 220.  BULLETIN  Tome  X. 
JW  k. 
DE 
LA  CLASSE  PHYSICO-MATHÉMATIQUE 
DE 
L’ACADÉMIE  IMPÉRIALE  DES  SCIENCES 
DE  SAINT-  PÉTERSBOlIRe. 
Ce  Recueil  paraît  irrégulièrement,  par  feuilles  détachées  dont  vingt-quatre  forment  un  volume.  Les  abonnés  recevront  avec  le  dernier  numéro 
l’enveloppe,  le  frontispice  la  table  des  matières  et  le  registre  alphabétique  du  volume.  Les  comptes  rendus  annuels  de  l’Académie  entreront 
dans  le  corps  même  du  Bulletin;  les  rapports  sur  les  concours  Démidov  seront  annexés  en  guise  de  suppléments.  Le  prix  de  souscription,  par 
volume , est  de  trois  roubles  argent  tant  pour  la  capitale  que  pour  les  gouvernements , et  de  trois  thaler  de  Prusse  pour  l’étranger. 
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SOMMAIRE.  NOTES.  G.  Sur  le  maximum  du  nombre  des  positions  d'équilibre  d'un  prisme  triangulaire  homogène,  plongé  dans 
un  fluide.  Boüniakowsky.  7.  Sur  le  rapport  qui  existe  entre  les  corps  malpighiens  et  les  canaux  urinaires.  Markisen.  BULLETIN 
DES  SÉANCES.  ANNONCE  BIBLIOGRAPHIQUE. 
i?  o ? m s. 
6.  Note  sur  le  maximum  du  nombre  des  posi- 
tions d’équilibre  d’un  prisme  triangulaire 
HOMOGÈNE,  PLONGÉ  DANS  UN  FLUIDE;  PAR  M. 
V.  BOUNIAKOVVSKY.  (Lu  le  3 octobre  1851.) 
Les  auteurs  des  ouvrages  sur  la  Mécanique,  en  traitant  la 
question  de  l’équilibre  d’un  prisme  droit  triangulaire,  plongé 
dans  un  fluide,  disent  que  le  nombre  des  positions  d'équilibre 
pour  lesquelles  les  arêtes  du  prisme  sont  horizontales,  ne  pourra 
jamais  être  plus  grand  que  clix-huit.  Mais  personne,  que  je  sache, 
n’a  songé  à soumetlre  à une  discussion  détaillée  les  équations 
du  problème  pour  décider  si  ce  maximum  pouvait  avoir  lieu- 
Or,  on  peut  démontrer  que  cette  limite  de  dix-huit  ne  pourra 
jamais  être  atteinte,  ou,  en  d’autres  termes,  qu’il  ne  peut  exis- 
ter de  prisme  droit,  homogène,  à base  triangulaire  qui,  plongé 
dans  un  fluide,  ait  clix-huit  positions  horizontales  d’équilibre. 
Commençons  par  rappeler  les  formules  connues  de  la 
question  dont  il 
s’agit.  Supposons  \ 
que  l’on  examine 
une  position  d’é- 
quilibre du  pris- 
me, lorsqu’une 
de  ses  arêtes  est 
plongée  dans  le 
fluide.  Soit  ABC  — 
(ßg.  J ) la  section 
du  prisme  per- 
pendiculaire aux 
arêtes  et  passant  par  leur  milieu,  LK  la  ligne  de  flottaison , G 
le  centre  de  gravité  du  triangle  ABC  et  g celui  du  triangle 
immergé  LKC.  Faisons 
CB  = a,  AC  = b,  AB  = 2 AE  = 2 EB  = c,  CE  = h, 
CK  = x,  CL  = xj,  <ECB  = a,  CECA  = ß ; 
de  plus,  ayant  abaissé  du  point  E les  deux  perpendiculaires 
EP  et  EQ  sur  les  côtés  a et  b du  triangle  ABC,  soit 
CP  = h Cos.  a = l,  CQ  = h Cos.  ß = m. 
Cela  posé,  on  sait  qu’en  désignant  par  q la  densité  constante 
du  prisme,  celle  du  liquide  étant  prise  pour  unité,  les  valeurs 
de  x et  y qui  déterminent  ses  positions  horizontales  d’équi- 
libre dans  le  cas  d’un  seul  sommet  immergé  , seront  données 
par  les  équations  suivantes  : 
xi i = çab  (1) 
x 4 — 2 te3  -+-  2 qabmx  — ç2crè2  = 0.  (2) 
Dans  le  cas  où  les  deux  sommets  opposés  seraient  immergés, 
on  n’aurait,  comme  on  le  sait,  qu  à changer  ç en  1 — q dans 
ces  deux  équations,  et  l’on  obtiendrait  par  conséquent 
xy  = (1  — q)ab  (3) 
æ4  — 2 Le3  -+-  2(1  — Q )abmx  — (1 — ç)2a2è2.  (4) 
L’inspection  des  signes  dans  les  équations  (2)  et  (4)  fait 
voir  que  chacune  d’elles  a nécessairement  une  racine  néga- 
tive; quant  aux  trois  autres,  il  est  visible,  par  la  règle  de  Des- 
cartes, qu’elles  seront  ou  toutes  trois  positives , ou  bien  l’une 
sera  positive  et  les  deux  restantes  imaginaires.  Pour  que  le 
