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ESullctm  physieo  - inaüiéinaüqiic 
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prisme  eût  dix-huil  positions  horizontales  d’équilibre  , les 
seules  dont  il  sera  question  ici , il  faudrait  évidemment  que 
pour  chacun  des  trois  sommets  C,  B , A les  deux  équations  (2) 
et  (4)  n’eussent  que  des  racines  réelles,  dont  les  trois  posi- 
tives satisfassent  chacune  , outre  cela , aux  conditions  sui- 
vantes 
x<a  V = <b 
. QCCl 
x<c  y = — <a 
X 
x<b  j = ^<c 
pour  le  sommet  C 
pour  le  sommet  B 
pour  le  sommet  A. 
Or,  un  examen  soigneux  des  équations  (1),  (2),  (3),  (4)  et 
des  inégalités  (5)  nous  conduira  à la  conséquence  qu’il  n’existe 
pas  de  ti’iangle  ABC  satisfaisant  à toutes  les  conditions  exi- 
gées. Pour  le  démontrer , procédons  comme  si  nous  cher- 
chions à déterminer  le  triangle  qui  donne  toutes  les  clix-huit 
positions  d’équilibre.  Et  d’abord,  il  faut  pour  cela  que  l’équa- 
tion (2)  ait  toutes  ses  quatre  racines  réelles.  Décomposons  là 
en  deux  facteurs  comme  il  suit  : 
[>  - (i-ri  an-  x 
[x-  - ((+,<)*  + = 0 (6) 
/x  étant  déterminé  par  l’équation 
/i6  — 3/2u4-t-(3/4 — kqahlm-y-h  q2 a2b2)/.r — (2  qabm — /3)2=0.  (7) 
Pour  que  l’équation  (6),  et  par  conséquent  l’équation  (2), 
ait  ses  quatre  racines  réelles,  il  faut  que  chacun  des  deux 
facteurs  (6)  soit  réel,  ce  qui  exige  que  toutes  les  six  valeurs 
de  i-i  soient  réelles.  Ainsi  l’équation  (7)  ne  devra  pas  avoir  de 
racines  imaginaires.  En  faisant  donc  [i2  = v,  l’équation 
v 3 — 312r2-+-(3/4 — kqahlm-+-kq2azb2)v — (2  qahm — Z3)2=0  (8) 
ne  devra  avoir  que  des  racines  réelles,  toutes  trois  positives, 
ce  qui  exige,  comme  on  sait,  que  l’on  ait 
16(Zm— ça/>)3)>27çaZ>(Z2 — m2)2  (9) 
3 Z4 — 4çaZ//m-+-4ç2a262^>0.  (10) 
De  plus,  en  vertu  des  conditions  (5),  chacune  des  trois  ra- 
cines positives  de  l’équation  (2)  devra  être  inférieure  à a,  et 
devra  donner  pour  y une  valeur  inférieure  à b.  Si  donc 
l’on  fait 
x = -a, 
il  faudra  nécessairement  que  l’équation  (2)  transformée 
S4  H-  4 a 
- 21 
:3  -s-  G«2 
— 6 ai 
|2  -t-  4a3 
- 6a2/ 
-t-  2 qabm 
I -t-  a4 
— 2a3/ 
-t-  2 qa2bm 
O 9 7 ° 
ait  toutes  ses  quatre  racines  négatives  , ce  qui  conduit  aux 
conditions 
2a— l >0,  a — Z )>0,  2a2  — 3aZ-t-ç6m)>0,  ) r 
a2 — 2al-+-2qbm — çrZr(>0,  I 
dont  la  première  est  inutile,  parce  qu’elle  est  renfermée  dans 
la  seconde. 
Les  conditions  (9j , (10)  et  (11)  se  rapportent  au  cas  d’un 
seul  sommet  immergé;  dans  l’hypotèse  des  deux  sommets  op- 
posés plongés  dans  le  fluide,  on  devra  remplacer  partout  q 
par  1 — ç.  De  plus,  en  vertu  de  l’équation  du  4me  degré  qui 
détermine  y,  et  de  la  condition  y<Cb,  on  trouvera  des  formules 
analogues  aux  formules  (11)  en  changeant  a en  b , et  en  même 
temps  / en  m,  et  vice-versa. 
Les  conditions  auxquelles  nous  sommes  parvenus,  et  celles 
qui  s’en  déduisent  par  de  simples  changements  de  lettres,  ne 
sont  pas  toutes  nécessaires  pour  notre  démonstration.  C’est 
pourquoi , pour  plus  de  commodité , nous  allons  reproduire 
seulement  les  conditions  dont  nous  aurons  besoin  dans  ce  qui 
va  suivre,  en  supprimant  celles  qui  sont  inutiles.  Et  d’abord, 
observons  que  la  différence  Im  — qab  est  positive  en  vertu 
de  1 inégalité  (9);  la  condition  (10)  nous  est  inutile;  la  pre- 
mière inégalité  des  formules  (11),  comme  nous  l’avons  déjà 
remarqué  phis  haut,  est  contenue  dans  la  seconde,  et  la  troi- 
sième est  superflue  pour  notre  but.  Si,  de  plus,  on  change  dans 
les  formules  (11)  a en  b , ainsi  que  / en  m,  et  vice-versa , et 
qu’on  substitue  1 — ç à la  place  de  p,  on  obtiendra  les  con- 
ditions suivantes  pour  le  cas  d’un  seul  et  de  deux  sommets 
plongés  dans  le  fluide  : 
Zm>çaZ>,  /»£>(!  — Q)ab  '(12) 
a(>  Z,  Z/>m  (13) 
a2 — 2al-\-2qbm — ç>2Zr)> 0,  Zr — 2bm-v-2qal — ç2a2)> 0 (14) 
a2 — 2aZ-+-2(l  — q)bm — (1  ç)2è2>0,  1 
b2 — 2èm-t-2(l  —q)al — (1—  ç)2a2>0.  f 
ïl  est  évident  d’ailleurs  que 
subsister  pour  chacun  des  deux 
couples  a,  c et  b,  c,  aussi  bien 
que  pour  a,  b. 
Cela  posé,  faisons  voir  d’a- 
bord que  la  section  du  prisme, 
perpendiculaire  à ses  arêtes, 
c’est-à-dire  le  triangle  ABC,  ne 
peut  être  ni  rectangle  ni  oblus- 
angle.  En  effet,  en  supposant  le 
triangle  ABC  (fig.  2)  rectangle 
en  B , et  conservant  toutes  les 
désignations  précédentes , on 
voit  que  l’on  aura  / = a pour 
ces  mêmes  conditions  doivent 
Fin.  %. 
/ 
