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de  r.icadoBstic  de  Saint-Pétersbourg 
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le  sommet  C immergé;  la  même  chose  aura  lieu  pour  les  deux 
sommets  A et  B plongés  simultanément  dans  le  fluide.  Donc, 
la  première  des  conditions  (13)  ne  sera  pas  satisfaite.  On  ar- 
rivera exactement  à la  même  conclusion  soit  pour  le  sommet 
A plongé  dans  le  fluide,  soit  pour  les  deux  sommets  opposés 
C et  B immergés  à la  fois.  Mais  on  ne  pourra  rien  conclure 
relativement  au  cas  de  B immergé,  ou  à celui  de  A et  C plon- 
gés simultanément  dans  le  fluide.  Or,  observons  bien  que  l’é- 
galité l = a,  annuitant  le  coefficient  6 a1  — 6 al  de  §2  dans 
l’équation  qui  détermine  cette  inconnue  , contredit  notre  hy- 
pothèse, en  vertu  de  laquelle  cette  équation  ne  doit  avoir  que 
des  l'acines  réelles,  toutes  quatre  négatives.  Donc,  il  devra  né- 
cessairement manquer  au  moins  une  position  horizontale  d’é- 
quilibre dans  chacun  des  quatre  cas  suivants  : 
1°  C immergé  ; 2°  A et  B immergés  à la  fois  ; 
3°  A immergé  ; 4°  C et  B immergés  à la  fois. 
Ainsi,  il  est  prouvé  qu’un  prisme  ayant  pour  hase  un 
triangle  rectangle,  ne  saurait  avoir  plus  de  18  — 4 — 14  po- 
sitions horizontales  d’équilibre.  Nous  n’affirmons  pas  au  reste 
qu’il  puisse  même  atteindre  ce  nombre  14. 
Des  raisonnements  tout-à-fait  semblables  à ceux  dont  nous 
venons  de  faire  usage,  nous  conduiront,  pour  le  cas  du 
triangle  obtusangle , exactement  aux  mêmes  conclusions  que 
pour  le  triangle  rectangle ; cela  se  voit  de  suite  en  observant 
qu’au  lieu  de  la  condition  l = a , nous  trouverions  /)>a,  ce 
qui  contredit  la  première  des  inégalités  (13). 
Ainsi,  s’il  existe  un  prisme  qui  admette  18  positions  d’é- 
quilibre , la  section  perpendiculaire  aux  arêtes  ne  peut  être 
qu’un  triangle  acutangle.  C’est  donc  pour  un  triangle  de  cette 
nature  que  nous  devons  examiner  les  conditions  établies  plus 
haut.  Commençons  par  en  déduire  quelques  conséquences 
très  simples. 
Donnons  à la  première  des  inégalités  (14)  la  forme 
[a — 1)°- — (m — qb)2-\ -m2 — '~)>0, 
et  voyons  à quoi  elle  se  réduit  en  vertu  de  la  liaison  qui 
existe  entre  les  lignes  a,  è,  / et  m.  En  observant  que  l’on  a 
(«g-  1) 
CE2=CP2+EP2=CQ2+EQ2, 
et  que 
CP2=l\  EP2=  Ç - (a-/)2 
CQ2=m\  EQ2=  — [b—iny, 
on  aura 
[a — l)2 — [b — m)2-t~m2  — Z2=0. 
Retranchant  cette  équation  de  l’inégalité  précédente,  il  vien- 
dra simplement 
(b — m)2'^>[m — qb) 2 . 
Pour  extraire  la  racine  carrée  des  deux  membres  de  cette 
inégalité  , nous  observerons  que  la  différence  b — m est  po- 
sitive en  vertu  de  la  seconde  des  formules  (13)  ; nous  aurons 
donc 
b — m)>m — qb. 
En  faisant  usage  de  la  seconde  des  inégalités  (14),  on  ob- 
tiendra de  la  même  manière 
a — l^>l — qa  ; 
de  ces  deux  inégalités  on  conclura 
. 2 l—a  ^ 2 m—b 
<;>  — ’ (?>-r~ 
(««) 
Ces  conditions  se  rapportent  au  cas  d’un  seul  sommet  im- 
mergé. Pour  le  cas  de  deux  sommets  plongés  dans  le  fluide, 
il  n’y  aura  qu’à  remplacer  q par  1—  q,  ce  qui  réduira  les 
conditions  (16)  aux  deux  suivantes  : 
Q< 
la— Il 
1 
a 
. 2 b — 2m 
ç < I 
(17': 
La  combinaison  des  inégalités  (16)  et  (17)  donne 
2 a — 2 Z ^ 2 Z — a 2 b — 2m  ^ 2m — b 
~a  ^ aj  ’ b ^ b : 
d’où  l’on  déduit  ces  conditions  bien  simples 
, J3  --  3 , 
*<4«>  ^<-b. 
(18) 
qui  excluent  l’égalité. 
Observons  que  ces  dernières  inégalités  (18)  ont  été  dé- 
duites en  faisant  usage  simultanément  des  conditions  relatives 
au  cas  d’un  seul  sommet  et  à celui  de  deux  sommets  oppo- 
sés plongés  dans  le  fluide.  Ainsi,  s’il  arrive  que  l’une  d’en- 
tr’ elles  ne  soit  pas  satisfaite  , on  ne  pourra  conclure  qu’une 
chose,  c’est  que  pour  le  sommet  qui  s’y  rapporte,  il  manque 
une  position  d’équilibre  , sans  toutefois  pouvoir  décider  , si 
cette  position  d’équilibre  disparaît  pour  un  seul  sommet  im- 
mergé , ou  pour  les  deux  sommets  opposés  plongés  dans  le 
fluide,  ou  encore,  qu’il  manque  deux  positions  d’équilibre, 
l’une  pour  le  premier  cas,  et  l’autre  pour  le  second.  Il  faudra 
encore  bien  remarquer  que  si  , pour  un  même  sommet , les 
deux  conditions  (18)  ne  sont  satisfaites  ni  l’une  ni  l’autre, 
cela  prouvera  infailliblement  qu’il  manque  deux  positions 
d’équilibre.  Cette  assertion  est  fondée  sur  ce  que  l’inégalité 
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m<^—b  est  déduite  en  partant  de  l’hypothèse  æ</ï,  et  /<[—«, 
de  celle  de  i/<7>  ; d’ailleurs , comme  une  valeur  de  x plus 
gi'ande  que  a ne  peut  pas  donner  pour  y une  valeur  plus 
grande  que  b en  vertu  de  la  formule  y = ~<^qb<Cp , il  faut 
en  conclure  évidemment  que  chaque  condition  (18),  non-satis- 
faite, emporte  séparément  une  position  d’équilibre. 
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