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Bulletin  pliysico  - mathématique 
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Eu  égard  à cette  dernière  remarque,  nous  sommes  en  droit 
d'affirmer  que,  pour  le  triangle  rectangle  ABC  (fig.  2),  il  man- 
quera encore  une  position  d’équilibre  outre  celles  qui  ont  été 
mentionnées  plus  haut;  en  effet,  en  supposant  le  côté  CB  ~^>AB, 
et  abaissant  du  point  E la  perpendiculaire  EQ , la  ligne  CQ 
3 
sera  plus  grande  que  les  -j  de  AC  ; cela  se  voit  de  suite  en 
observant  que,  par  la  grandeur  relative  des  angles  A et  C , la 
projection  CR  de  CB  sera  plus  grande  que  la  projection  AR, 
double  de  AQ,  àeBA.  De  cette  manière,  le  nombre  des  posi- 
tions d’équilibre  du  prisme  se  trouve  réduit  à 13.  Si  le 
triangle  rectangle  avait  ses  deux  côtés  AR  et  BC  égaux,  il  y 
aurait  encore  une  position  d’équilibre  d’enlevée,  et  leur  nom- 
bre ne  dépasserait  pas  12. 
Des  conclusions  tout-à-fait  analogues  auront  lieu  pour  le 
cas  du  triangle  obtusangle. 
Les  conditions  (18),  déduites  indépendamment  des  condi- 
tions de  la  réalité  des  racines  des  équations  (2)  et  (4) , vont 
nous  conduire  à la  conclusion  définitive  qu’un  prisme  trian- 
gulaire ne  peut  jamais  avoir  18  positions  d'équilibre.  Pour 
être  en  droit  de  tirer  cette  conséquence,  il  suffira  de  prouver 
qu'il  n’existe  aucun  triangle  acutangle  fies  triangles  rectangles  et 
obtusangles  étant  déjà  exclus  par  ce  qui  précède)  satisfaisant, 
pour  chacun  de  ses  sommets,  aux  dites  conditions  (18).  Avant 
de  démontrer  cette  proposition  de  Géométrie  élémentaire,  re- 
marquons que , dans  un  triangle  équilatéral , les  lignes  que 
nous  avons  désignées  par  l et  m seront  toutes  égales  entr’ elles 
par  rapport  à tous  les  sommets,  et  que  leur  valeur  commune 
sera  les  du  côté  du  triangle. 
De  plus , nous  rappellerons 
que  si  la  section  du  prisme  par  un  plan  perpendiculaire  à ses 
arêtes  est  un  triangle  équilatéral,  le  nombre  de  ses  positions 
d’équilibre,  pour  q compris  entre  les  limites  — et  — > sera 
seulement  de  douze.  Il  sera  donc  inutile  de  considérer  le 
triangle  équilatéral  ; il  suffira,  pour  notre  but,  de  démontrer 
qu’il  y aura  au  moins  une  des  conditions  (18)  qui  ne  sera  pas 
satisfaite  pour  tout  triangle  acutangle  , différent  d'un  triangle 
équilatéral.  Pour  cela  nous  allons  considérer  séparément  les 
trois  cas  suivants  : 1°  un  triangle 
égaux  sont  les  plus  grands  ; 2° 
deux  angles  égaux  sont  les  plus 
petits  ; 3°  un  triangle  acutangle 
dont  les  trois  angles  sont  in- 
égaux. 
1er  CAS.  Soit  ABC  (fig.  3)  un 
triangle  scalène  dont  les  angles 
égaux  A et  B sont  les  plus  grands. 
Les  deux  lignes  CP  = l et  CQ= 
m,  égales  entr' elles  seront  plus 
3 
grandes  que  les  — des  côtés  égaux 
scalene  dont  les  deux  angles 
un  triangle  scalène  dont  les 
-Fÿ-  O. 
C 
BC=a , AC=b  du  triangle  ABC. 
En  effet,  abaissant  du  point  A la  perpendiculaire  AL  sur  CB, 
on  aura 
CL  = AC.  Cos.  C , BL  = AB.  Cos.  B , 
et  par  suite,  à cause  de 
AC  )>  AB  , Cos.  C O Cos.  B. 
on  trouvera 
CL  > BL  ; 
de  là  on  déduira  immédiatement 
donc 
l 1 
BL<C—a,  et  par  suite  PB<Ü—a  ; 
CP  — et  de  même  CQ  = rriA^^b. 
Ainsi , il  manquera  au  moins  deux  positions  d’équilibr  e 
relatives  aux  deux  cas  où  C serait  immergé  , ou  les  deux 
sommets  opposés  A,  B seraient  plongés  en  même  temps  dans 
le  fluide. 
Si  le  sommet  A,  ou  les  deux  opposés  B et  C étaient  plon- 
gés dans  le  fluide,  on  aurait 
et,  par  conséquent,  une  nouvelle  position  d’équilibre  serait 
emportée.  La  même  chose  aurait  lieu  pour  le  cas  du  som- 
met B,  ou  des  deux  sommets  opposés  A et  C immergés,  car 
on  trouverait 
n n"  " '3 
BP  = m = — C ; 
4 
il  y aurait  donc  encore  une  position  d’équilibre  d enlevée.  De 
cette  manière,  au  lieu  de  18  positions  d équilibre,  il  ne  reste- 
rait tout-au-  plus  que  14. 
2d  CAS.  En  représentant 
par  ABC  (fig.  4)  un  triangle 
scalène  , dont  les  angles  égaux 
A et  B sont  les  plus  petits,  on 
verra,  comme  plus  haut,  qu’en 
faisant  AP  = l , AQ  = m , on 
aura 
3 3 
l = -T  c,  m f>  —b  , 
ce  qui  prouve  qu'il  y a deux  ^ 
positions  d'équilibre  d'enle- 
vées pour  le  sommet  A,  ou  C et  B immergés  à la  fois.  La  même 
chose  aura  lieu  pour  B , ou  C et  A plongés  dans  le  fluide,  car 
on  aura 
BP  = V = | c,  BQ'  — m f>  | a. 
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