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Bulletin  pliyslco  - mathématique 
6§ 
[W(*-in 
L izé  ^Z=i 
■=0 
qi  Z (1 — q2mz) 
i 
iz2 
= - 3 
Bm — 
r q^Z(z — 5r2/72| 
i 
iz  2 
i 
Jz=ÿ2m 
_ [(1— 20  (1—  230 ][(1— gv  *)(!  — 23^  1 )•  • . ■] 
[(1—  22)  (1— 24) ] [(1— 22)  (1— 24) ] 
_ (1  — ql~-mv)  (1 — q2~~zmv). . .(1  — q~*v)  (1 — gt>)„(l — qi+'i’nv~  1).  . . 
2 m {i~2m — 1)  (1 — q2~2rn)  . • • (1 — 2~ 2)  (1  — 22)-  • *(1  — q2~i~2m).  . ■ 
q*m(l—ql+-2mv)(l_q3-*-2mi>).  . .(1_?1-2™V-1)  (l—q*-2mv-l).  . . 
(a) 
(q2m-l)  (l-q2+2m).  . ,(l-q2-2m)  (1  -qi-2m^  . .(i_g-2)  {l-q2).  . . 
ainsi 
Z 
Posant 
= qmv~mA0, 
_ iz^Â0  / 1 “ J"V 
"ai12-1  I1“«’ 
mtf  m 
iiri» 
CO  qmv—mz- 
2j 
F 
1—2 
2m. 
ï) 
2 Ex 
ÎKy 
= a,  — — = ai  = «M*, 
on  aura 
nbK'  irru 
K =qb,  Um  = e2mix  — e K ■>  Z- 
0 ( u-t-ai ) 
H (ai) 
par  conséquent 
0 (u-r-ai) 
H (ai) 
«0  i-  ^ ■/"  i 
siV=î  t 
■ 2 g2 mix  CO  qm  — | e — imixs 
2rn-+-b  ' ^ t 772m- 
1 1 
— 2mix\ 
i—b  y ^ 
Déterminons  maintenant  la  valeur  de  A0.  Or  d’après  l’expres- 
sion de  0 (u),  on  a 
0 (u) [(1  — 2^)  (1  — ?30 ] [(1—  qv  !)  (1  — q3v — !) ] 
0 (°)  “ [(i  - 2)  (1  - 23)  • • • - ]2  ’ 
ce  qui  réduit  la  formule  (a)  à 
4 0 (it)  [(1  — g)  (1  -2])....? 
'O  ©(0)[1_?2)(1_g4)....j2* 
Mais  par  une  formule  de  la  page  (89)  des  Fundamenta  nova, 
donc 
[(1  — 2)  (1  — 23]-  • • - ]2 
[(1  — 22)  (1  — 24) ]2 
© (u)  . TCq  4 
i 
rrq  1 . 
kïE 
6(o)  là  K 
et  comme 
V-~  = 0 (/t)  = 01  (0),  V-~=  Il  [K)  = Hl  (0) 
on  a 
et  par  suite 
As  ®i  (°)  "1  <«•> 
20  (?«)  . ç ï 
© (°)  ©i  (0)  Ih  (0) 
Après  avoir  substitué  cette  valeur  de  A0  dans  la  formule 
(b),  celle-ci  se  transformera  en 
Hl  (0)  0 (0)  0t  (0) 
i 0 a«') 
2 II  (ai)  0 (m) 
b 
qi 
A-qb 
CO  m-i-%  n2mix 
v 2 -e 
*■*  4 n2m-\-b 
“gm-u-2m'Æ  , 
4 1 _ q2m—b~  (C) 
Mettent  — m au  lieu  de  m et  remarquant  que  0 (—  u a?] 
— 0 (m  — ai),  0 (—  u)  — 0 (m),  on  verra  que  cette  formule 
se  réduit  à 
7/j  (0)  0 (0)  0j  (0) 
!0(m — ai) 
2 H (ai)  © (m) 
'5 
2 2 
l-2& 
œ qm-t-z  e—2mix 
1 — $r 
^ 2"'- 
T 1 
2 e-f- 
..2///  b~ 
Prenant  la  somme  et  la  différence  des  valeurs  (c)  et  ( d ) on 
obtiendra 
7/j  (0)  0 (0)  0t  (o\ 
i [0  (u  -+-  ai)  -t-0(u  — ai)] 
b 
2?2 
1 _ 
2(3- 
2 H (ai)  &(u) 
b™  qm(Y+q2'")cos(<imx) 
9 (1  — q2,n 
1 
9(1 
77 ,(0)0(0)  0,  (0)  t0(^H-ai)-0(W-a*l] 
= 2(3" 
32)  A 
1 
2 II  (ai)  6(u) 
qm  (1 
q2m)  sin  (2  m. t) 
( 1 _ q2  rn  -+-  b}  (J  _ q2  m — b 
(e) 
(f) 
Telles  sont  précisément  les  formules  (1)  et  (2)  de  la  lettre 
de  Jacobi.  Les  formules  (3)  et  (i)  peuvent  aussi  être  déduites 
des  formules  (c)  et  ( d ).  En  effet,  les  formules  rapportées  au 
commencement  de  la  page  101  du  No.  cité  des  Comptes  ren- 
dus et  qui  ne  différent  pas  pour  le  fond  des  formules  du  8 62 
des  Fundamenta  nova,  donnent 
