69 
de  l’Académie  de  Saint-Pétersbourg-, 
70 
IT(u-i-ai) 
— e 
— ixe\-u~  *(£'—«)] 
0 {ai)  “ //[i  [Ii' — a)] 
En  vertu  de  cette  formule  et  de  ( d ) dans  laquelle  on  changera  a en  R*  — a,  et  par  suite  & en  1 — b , on  trouvera 
1 fql  — le— ix  °0  qm-+-  5 — \ e— (2/72-hi)  ix  CO  qTn—\^-^  e(ïm—i)ix 
TJ  ! K CM  \ (A  M n[H-^-ai)  1 /Î2  — 2e 
//j  (0)  0 (0,  Ox  (0)  2 @ w @ M 4 _ gl  — 
1 _o2/72-t-l b 
r'“-1  ! 1—2 
Substituant  — u à u et  remarquant  que  H( — u -i-ai)  = — H (u  — ai),  cette  formule  se  réduit  à 
n(n  — ai) 
l „2/72 1+6 
-)  (») 
B,  (o)0  (0)  0,  (0) 
■ 1 _ à ,+ 
1 /Ç2  2 e 
■b 
1 /Ç2  2 
i \1  — 51  ‘ 
20  (ai)  Q(u) 
En  faisant  la  somme  et  la  différence  des  formules  ( g ) et  ( h ) on  obtiendra: 
CO  qm-t-  2 — I q I 2a/2  -+l)  ia?  CO  ^772  — |+-  | e — (2272  — i)ijr> 
Y 1 —qZm-T- 1 — b ^ 1 _22'«  — i-HÏ  , 
(I») 
rr  / \ /^  / ^ ..  7/(2«  -4-ai)-t-H(u  — ai)  252  2 sin  je  „c?çm_f_2  2 sin(2m-+l)a;  r»  gm  2 ■+■  2 sin  (2m  — 
22,  (0)  0 fej O,  (o)  2e(a,.)@(ll) = +2Î 
CO  m — o-l-o  sin  — 
l)x 
T,  , s /a  r \ ' \ Hi11-*-™)  — H(u  — ai)  2<?2  — 2cosa; 
22,  ,o)  0 (»1  0,  (0)  —*9(555^ = 
o ^ qm~*~  2 2 cos(2m-i-l)a: 
“ -J-  i_2  2/72 -h  1 — "& 
— 2 £ 
1 
00  nm  2 + 2 cos(2m — \)x 
1 — qzm — t-*-b 
et  réunissant  les  termes  semblables  par  rapport  aux  sin  et  cos,  on  trouvera 
on  aura 
_ „ , . H(u-t-ai)-i-H(u  — ai) 
77,  M 0(o)  0,  M gew;v— - 
= 2 [q'i  — t—  q 2) 
b.  00  g 2 
(1-5 
2772-1-1 
) sin(2m-i-l)a: 
^ (1  _ j2t 72  + 1 + 6)  _ qïrn  -t-  1 — tq  V1/ 
^ , , Hhi-t-ai)—  H(u  — ai) 
Hx  (0)  0 (0)  0,  (0)  2t0 (ai)  ©(*) 
2772 -H  1 
n r _b  bs  ^ 5 2 (l-»-52"7-,-1)cos(2m-i-l)a; 
= - (?  2 (72)  ~ _ g2/72 -+  1 ^ f/)_  (j  — — i') 
Ce  sont  les  formules  (3)  et  (4)  de  la  lettre  *). 
Pour  parvenir  aux  formules  (7)  et  (8),  décomposons  en  frac- 
tions simples  l’expression 
0 j (u  +-  ai) 
~IIiW 
_ z 2 (l-+qv»)  (l-i-g3ez) . . (I-1-5''  D (i-i-g3e- 
-le—  D 
54  (l-t-s)  (1h-52z)  (1-t-g4')  ■ . (1-i-522  D (1-i-542  !). . . 
Posant 
0j  (i«-+ai) 
Hx  {ai) 
22  / -dp 
1 Vl-t- 
54 
CO  2 
+-  £ — 
, i-1-52' 
CO  ß 
V r‘ 
*)  Il  s’est  introduit  quelques  fautes  d’impression  dans  l’extrait  de  la 
lettre  de  Jacobi.  Dans  les  formules  (3)  et  (4)  au  lieu  de  Y q{\  —5)  . . 
V53(l  — 53)  ...  on  doit  lire  qi  (1  — 5),  5 2 (1  — 53),.  . . et  dans  les 
formules  (4)  et  (5)  au  lieu  de  J/5(l-+5)>  J/53(1-i-53)  on  doit  lire 
52  (l-t-5),  2I  (1 -H53) 
[d- 50(l-gV)----]  [(1- 5',-1)(l-5V-t)----i 
[(1-22)  (1  — 24) • • • • ] [(1  “22)  (1  — ?4)*  • • •] 
2 0{u)qï 
Hl  (0)  0 (0)  0!  (0) 
Am  = qmvmA0,  Bm  — qmv~'nA0, 
donc 
i 
32 
~ qm  Anzl 
l-f-5 
277/  „ 
œ qm„—mz—\ 
b 
g 2 
l-t-gö  ’ Y 1 -1-  qZ,tl  b 
et  changeant  u en  — u,  on  aura 
00  qrn-+-  | e'imix  CO  ^ n — | e~—zmix 
E — o ...  . 2: H .E 
1-1-5 
2 772  7/ 
//j  (0)  0 (0)  0j  (o) 
0j  («e  — ai) 
2 i/j  (ai)  0 {11) 
g2 
i-+5t 
CO  772  -+?. 27///X  — 
V 2 2e  , \ g 
■°  2/72 — 1 — b ^ ^ 
CO  nm — I e2mix 
1 
1 -+5 
j 1 -t-qzrn  — l‘ 
(I) 
De  ces  deux  formules  on  déduit  les  formules  (7)  et  (8)  de 
la  lettre,  savoir; 
üt  (0)  0 (0)  0.  (0) 
lW  w ±IIX  {ai)Q{u) 
■ ai) 
-g2,  -h  9 (01  1)  v gw(l-i-g2m)cos(2mx) 
1-+^'  “ ^ ^ (l-r-52"'-i-i'')  1‘) 
