S3 
Bulletin  pfiysieo  • mathématique 
m 
dt,  = adx  - 1 bdy  -i-  cdz  -+-  xdt  t-  ydb  -+-  zdc 
dy—  axdx  -i-  bxdy  -+-  cxdz  -+-  adax  -t-  ydbt  -+-  zdct 
dt  = a2dx  -+-  b2dy  -+-  c2dz  -i  tda2  -+-  ydb%  Hl-  zdc2, 
d2t ; = adrx  -+-  bd2y  -+-  cd2z  H dadx  H-  dbdy  -s-  dcdz) 
-+-  xd2 a -+-  yd2b  zd2c 
d2y=  ald2x-t-b1d2y-t-c1d2z-i-2[daldx  dbLdy  -l-  dcxdz) 
-+-  xdral 
d2£  = a2d2x-b-b2d2y~bc2d2. 
-I-  xd2a„ 
(2) 
yd% 
i2y •+-■ 
yd2b2  ' 
zd2ci 
;-i-2  (da2dx  -ä-  db2dy  uc2dz 
zd  c2  , 
(3) 
Si  l’on  multiplie  ces  dernières  équations  respectivement  par 
a,  , a2,  et  qu’on  désigne  par  X la  force  accélératrice,  qui 
sollicite  le  point  M parallèlement  à l’axe  des  x,  on  obtient 
en  somme 
Xdt2  = d2x  -t-  2 dy  ( adb  H-  aidbl  -t-  a,,db2) 
-+-2dz(adc-t-a1dc1-+-  a2dc2)  -t-  x (ad2  a-i-a 
-t-  y (ad2  b - v-ai  d2bt- f-  a2d2b2)  -t-  z(ad2c  ~baxd2ci  - b-a2d2cz ) ; 
(4) 
parce  que 
æ-t 
a dt 2 ~~V 
d2y 
dt1  ~5~ 
d2t  „ 
dt2~~"' 
Mettons 
a1dbl 
c1da1 
bxdcx 
et  remarquons  que  a2 
adb 
cda 
bdc 
■ b2da,2) 
a2db2  = — rdl  = — {bda-b-b  ldai  ■ 
c2da2  — — qdt  = — (adc -+-  a ( dc1  -s-  a2dc2)  l (5) 
b2dc2  — — pdt  = — (edh-b  cx  db  1 H-  czdc2) , 
• a22  = 1 , nous  trouverons 
ad2b~b-ald2bl  -\-a2d2b2=  — drdt  — (dadb-bdaldbl-bda2db2)  j 
ad2c-t-a1d2cl-i-a2d2c2= — dqdl  — (dadc-bda  ,dc , -b-da2dc2)  \ (Q) 
ad2a-t-aid2ai-+-a2d2a2  — — dpdt — ((da)2- b (db)2-+-(dc)2).  j 
Comme  les  directions  des  axes  fixes  £,  r/,  f peuvent  être 
choisies  arbitrairement,  nous  supposerons,  qu’à  la  fin  du 
temps  t ces  axes  coïncident  avec  les  axes  mobiles  des  x,  y , z, 
alors  tous  les  cosinus  deviennent  zéro,  excepté  a,  bt  et  oa, 
c.-à-d. 
a = cos  (x,  I)  = 1 , />,  = cos  (y,  y)  = î,  c%  = cos  (z,  £)  = î , 
par  conséquent 
da=  1,  dbx  — 0,  dc2  = 0. 
Substituant  ces  valeurs  dans  les  équations  (5),  on  aura 
db  — — rdl  = — dal 
da2  = ■ — qdt  = — de 
dct  — — pdt  = — db2 
(7) 
et  au  moyen  de  ces  équations,  les  expressions  (6)  se  réduisent 
à celles-ci: 
adzb-b-aldzb1-ba2d2b2= — drdt — da2db2  = — drdl-i-pqdl2  j 
ad'c H- al d2c , -t-a2dzc2 = — j- dqdl  — dapdc  1=-\- dqdl~\-prdt2  f 
adza-b-aid2al  -b-a2dzd2—  — [(da)z~b(db)2- 1-  (Je)2  J 
' — — (qz-brz)dtz 
(8) 
Substituons  les  valeurs  des  expressions  (5)  et  (8)  dans  l’é- 
quation (4),  nous  aurons,  après  avoir  divisé  par  dlz, 
„ d2x  „ / dz  dy\  de 
X — — 2 -a-  2 ( y V f - ) -*-  Ä -r-  — y 
dt 2 v dt  dt  J dt  J 
Z — 
ddx 
dt 2 
— x (p2  -t-  q2 
(r- 
dt 2 \ dt 
— y (p2  H-  q2 
d2z 
dt 2 
dr  \ 
- p (px 
dz\ 
q (px  ■ 
do 
dt  J dt 
-t-  qy  —J-  rz), 
dr  dp 
dt  "°  dt 
h qy-b-rz)’ 
f dy  dx 
2{Pdt-qdt 
dx ^ 
y 
dp 
dt 
X 
dq 
dt 
— r (p2  -t-  q2  -t-  r2)  -t-  r (px  -s-  qy  h-  rz).  j 
Les  deux  dernières  équations  s’obtiennent  , en  prenant  la 
somme  des  produits  des  équations  (3)  respectivement  multi- 
pliées par  è,  iq,  b2,  ensuite  par  c,  c15  c2.  Les  équations  (9) 
contiennent  la  solution  du  problème  général  du  mouvement 
relatif;  mais  avant  de  procéder  à leur  application,  il  faut  con- 
naître les  valeurs  de  p,  y,  r.  Or  il  est  facile  de  voir  des  équa- 
tions (7)  que  ces  quantités  sont  les  vitesses  angulaires  du 
point  M autour  des  axes  |,  y,  £,  qui  coïncident  à la  fin  du 
temps  t avec  les  axes  mobiles  x,  y , z.  On  peut  d’ailleurs  le 
démontrer  comme  il  suit. 
Supposons  le  point  M invariablement  lié  aux  axes  mobiles, 
et  qu’il  n’ait  point  d’autre  mouvement  que  celui  qu’il  reçoit 
par  les  axes  mobiles,  alors  les  équations  (2)  se  réduiraient  à 
dt,  = xda  -t-  ydb  -s-  zdc  ï 
dy  = xda2  -i-  ydbl  -b-  zdcx  \ (îG^ 
d's  = xda 2 -t-  ydb2  -i-  zdc2  J 
Mais  puisque  les  axes  mobiles  coïncident  à la  fin  du  temps 
t avec  les  axes  fixes  £j,  y,  nous  aurons  da  — 0,  dbL  —9, 
dc2  — 0,  et  en  vertu  des  équations  (î),  les  équations  (10)  de- 
viendront 
dj 
dt 
dy 
dt 
= ft 
rn 
(H)' 
dt 
dt 
7=py  — ft 
Or  il  est  évident  des  équations  (7)  que  les  quantités  p,  q , r 
sont  indépendantes  entre  elles  ; donc  p ne  changerait  pas  si  q 
et  r étaient  zéro,  et  dans  ce  cas  on  aurait  dt,  = 0,  — = — p|, 
=py,  ou  const.,  ydy-i-£dÇ—.0,  le  point  M décrirait  donc 
un  arc  de  cercle  perpendiculaire  à l’axe  des  qui  passe  par 
son  centre.  Désignons  par  ds  l’élément  décrit,  et  par  ç le  rayon 
, , , dt  ds  , , , 
du  cercle,  nous  aurons  pdt— = — = — = dp  c.-a-d.  a 
i v 
l’angle  décrit  pendant  dl , et  p — — • est  la  vitesse  angulaire  du 
point  M autour  de  l’axe  des  |.  On  démontrera  de  même  que 
q et  r sont  les  vitesses  augulaires  autour  des  axes  y et  Ç,  qui 
coïncident  à la  fin  du  temps  t avec  les  axes  mobiles. 
