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18.  Zur  Theorie  der  kleinsten  Quadrate.  Von 
Dr.  M.  G.  yon  PA  UCKER.  Zweiter  Artikel.  (Lu 
le  8 août  1851.) 
Man  überzeugt  sich  leicht,  dass  der  mittlere  Fehler  eines 
Mittels  dui’ch  die  Ausgleichung  allein  zu  niedrig  bestimmt 
wird.  Es  mögen  z.  B.  mehrere  Beobachtungen  zufällig  ein- 
ander nahe  gleich  sein,  während  ihre  aus  den  einzelnen 
Vergleichungen  gezogenen  Mittelfehler  beträchtlich  sind.  Der 
durch  Ausgleichung  sich  ergebende  Mittelfehler  des  Mittels 
der  Beobachtungen  ist  dann  gering,  da  er  doch  wegen  der 
grossen  einzelnen  Mittelfehler  erheblich  sein  sollte.  Wegen 
der  häufigen  Anwendung  dieser  Rechnung  möge  hier  ein 
ausführlicher  Beweis  stehen. 
Die  unbeziehliche  Beobachtung  ...  A 
ihr  unbeziehlicher  Mittelfehler  . . . d 
ihr  Gewicht p 
ihre  gewichtliche  Zahl a 
ihre  einheitliche  Zahl -f-  = 21 
Vp 
die  einheitliche  Beobachtung.  . . . kVp  = l 
der  einheitliche  Mittelfehler  ....  dYp  = g 
der  einheitliche  Fehler  überhaupt  h 
irgend  ein  Mittel m = 21YH-2 ft'  . • . 
oder  m = a a -+-  a k . . 
dessen  Fehler  dm  = 21 V -r-  h" . . 
Man  bezeichne  den  mittleren  Werth  einer  veränderlichen 
Grösse  durch  den  über  diese  Grösse  gesetzten  Bogen.  Der 
Mittelfehler  von  m sei  A,  so  ist  Ai  = dm  . dm 
also 
JA  = 2l'  (21  Wh-  2t'W'. .) 
nt"  lnt'i"7^  nt"  r"T"'  \ 
-I  21  (2f  h h -i-  21  h h . .) 
Es  können  zwei  Fälle  stattßnden.  Die  Zahlen  2(  sind  ent- 
weder gegebene,  von  bestimmten  Bedingungen  abhängige, 
oder  sie  sind  durch  Ausgleichung  gefundene  Werthe.  Im 
ersten  Fall  setzt  man  nach  Gauss  ; 
, r / t . n , n " // 
n h = g g h h =.  g g u.  s.  w. 
h' h"  = 0 
!i  h'"  = 0 u.  s.  w. 
dann  wird  AA  = 21  21  g g -t-  21  21  g g . . . 
i A 4 > ’ l’  1>  ’’  " i"  i" 
oder  AA  = a a d d h-  a a d d . . . 
Z.  B.  zwei  Beobachtungen  k'  k"  enthalten  thatsächlich  eine 
und  dieselbe  Grösse  mit  entgegengesetztem  Vorzeichen.  Man 
nimmt  um  diese  unbekannte  Grösse  wegzuschaffen 
m = I k'  -+- 1 H 
dann  ist  AA  = \ dt  dt  h-  \ dt'  dt' 
weil  hier  die  Zahlen  i/=  a"  = { nicht  auf  Ausgleichung 
beruhen. 
Wenn  aber  im  zweiten  Fall  die  Zahlen  21  oder  a auf  Aus- 
gleichung beruhen,  so  setzt  man 
y ' j"  -c"  " 
h = f h-  g h = f h-  g u.  s.  w. 
wo  f f".  . die  veränderlichen  Theile,  g'g".  . die  aus  den  ein- 
zelnen Vergleichungen  geschlossenen  festen  Theile,  denen 
man  auch  die  sogenannten  konstanten  Fehler  beifügen  kann. 
Es  ist  dann  nach  Gauss  : 
f = 0 f = 0 . 
7? = ff 
Woraus  folgt  f g'  = 0 
it  !>'  = ff  -+-  g'g' 
'777  r rt 
hh  = gg 
AA  = (21'21'h-  2l"2l". .)  ff 
ff'  = 0 ff" 
fT  = ff 
fV  = o f? 
ii'h"=  ff. 
tf  n 
9 9 
a'a'"= 
/ nr 
9 9 
•3t  V'-O  (3tV 
or"  " 
■21  g . . 
-t-  (21 V • 
Es  sei  alsdann  der  mittlere  Ausgleichungsfehler  = b 
der  mittlere  Verbindungsfehler  = 8 
so  ist  bb  = (21'21'-h21"21".  .)  ff 
oder  bb  = (jr  yr  • • ) ff 
8 = 21 V -+-  2lV ' . . . 
oder  8 ==  ad'  -+-  a'd"  . . . 
und  AA  = bb  H-  88 
der  hieraus  folgende  Satz  ist  : 
« Dieselben  Zahlen  a',  a", . . mit  welchen  die  Beobachtungen 
k , k"  . . zur  Bildung  des  Mittels  m multiplicirt  werden,  ge- 
ben mit  den  Mittelfehlern  d , d" , . . . der  Beobachtungen  den 
mittlern  Ausgleichungsfehler  8 des  Mittels.  Das  Quadrat  des 
vollständigen  Mittelfehlers  ist  gleich  den  Quadraten  des  Aus- 
gleichungsfehlers und  Verbindungsfehlers  zusammen.» 
Wenn  aus  den  Beobachtungen  durch  Ausgleichung  mehrere 
Mittel  gefunden  werden,  so  gilt  derselbe  Satz  für  jedes  Mittel. 
! ii. ,i  tr  fr.i  ("■)" 
771  - — - Cl  A HH  Cl  A . • 771  D A + V À>  • • • 
bV: 
/aV 
\p' 
ff 
bV: 
/ bV  b"b"  \ .. 
' 1 ' " J’ 
8 — ad  -t-  ci  d 
a'a'=  bV  h-  s's' 
§"=  bV  b"d" 
A"A"=  b'^'V  8"8" 
19.  Zur  Theorie  der  kleinsten  Quadrate.  Von 
Dr.  M.  G.  von  PA  UCKER.  Dritter  Artikel.  (Lu 
le  8 août  1851.) 
Wenn  der  Unterschied  zwischen  der  Anzahl  der  Beob- 
achtungen und  der  aus  ihnen  zu  bestimmenden  Mittel  be- 
