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Bulletin  phy§ico  » mathématique 
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Irächtlich  geringer  ist  als  die  Anzahl  der  Mittel , so  kann 
man  sich  eines  Verfahrens  bedienen , welches  erhebliche 
Vortheile  gewährt.  Bekanntlich  wächst  die  Weitläufigkeit 
der  Rechnung  unverhältnissmässig  mit  der  Anzahl  der  auf- 
zulösenden Gleichungen,  besonders  wenn  die  Gewichte  nicht 
in  einfachen  Zahlen  ausgedrückt  sind,  sondern  aus  den  Beob- 
achtungsfehlern auf  mehrere  Decimalstellen  berechnet  wer- 
den. Dann  ist  es  zweckmässig,  den  ersten  Theil  der  Rech- 
nung ohne  Zuziehung  der  Gewichte  auszuführen , in  den 
zweiten  Theil  aber  die  umgekehrten  Gewichte  zu  bringen, 
welche  wie  die  Quadrate  der  Beobachtungsfehler  sich  ver- 
halten. Statt  wie  gewöhnlich  zuerst  die  Mittel  zu  bestim- 
men und  durch  sie  die  Beobachtungen  auszugleichen,  wird 
man  hier  umgekehrt  zuerst  die  Beobachtungen  ausgleichen, 
und  aus  den  ausgeglichenen  Beobachtungen  die  Mittel  be- 
rechnen. Bei  diesem  Verfahren  werden  mehrere  neue  Be- 
ziehungen zwischen  den  Rechnungsgrössen  aufgedeckt.  Als 
Beispiel  dient  die  in  dem  Aufsatz  «das  astronomische  Län- 
genmaass»  vorkommende  Untersuchung  der  londoner  astro- 
nomischen Maassröhre,  wo  aus  14  Beobachtungen  10  Mit- 
tel gefunden  werden.  Auf  die  gewöhnliche  Art  hat  man 
10  , auf  die  hier  vorgeschlagene  Art  aber  nur  4 Gleichun- 
gen aufzulösen. 
Der  allgemeine  Ausdruck  jeder  ausgeglichenen  Beobach- 
tung (E  durch  die  Mittel  m m . . ist 
(E  = am'  -+-  bm  ... 
Die  Anzahl  der  Beobachtungen  sei  n , die  der  Mittel  sei  r. 
Man  bringt  die  Beobachtungen  in  zwei  Ablheilungen,  wel- 
che man  durch  die  darüber  gesetzten  Zifern  1,2,  unter- 
scheidet, in  der  ersten  Abtheilung  r Beobachtungen,  in  der 
zweiten  n r Beobachtungen. 
Folgende  Aufstellung  gewährt  eine  Uebersicht  der  ganzen 
Rechnung.  Zuerst  ohne  Zuziehung  der  Gewichte  : 
1 
G in 
a a . 
i’  i". 
I °t  °tt 
o ) a a . . 
| l\  b".  . 
a a . . 
ß'  /?"•• 
?// 
A . . . 
r >> 
£ £ . . . 
Hier  wird  3.  aus  1.  durch  gewöhnliche  Umwendung  gebil- 
det, so  dass  jede  senkrechte  oder  horizontale  Reihe  von  1. 
mit  einer  senkrechten  oder  horizontalen  Reihe  von  3.  ent- 
weder = 1 , oder  = 0 giebt , je  nachdem  die  Reihen 
gleichnamig  oder  ungleichnamig  sind.  Aus  2.  und  3.  wird  4. 
durch  die  Gleichungen  : 
0,2, 
a a 
r 0,2, 
p — a a 
° 2 / 
• b'  h . . . 
0,2" 
b b 
n 0„2, 
a = a a 
0rt 
p =a  a ■ 
- °b"b '. 
O//2// 
b b . 
In  5.  sind  X die  gegebenen  unausgeglichenen  Beobachtun- 
gen , £ die  Abstände  , so  dass 
ir 
X - 
1 
aX 
" i"  o\ 
£ = X — pX 
u.  s.  w. 
Für  den  zweiten  Theil  der  Rechnung,  welcher  die  Ge- 
wichte hinzuzieht,  ist  die  Aufstellung  : 
c I 1 / 1 //  2/2//  tu  • n 
(PB  ■ ■ -V  V • • K ? 
I EE  EF . . ( ee  ef . . 
7., 
EF  FF. 
ef  ff.. 
a , Jt'  1"  • • Ä' 
V-  ' 2 2,,  1,  1., 
r (E  (E 
2, 2, 
1/1, 
2/ 
r r ..ff 
i n 
mm  . . 
In  6.  sind  die  Gewichte  p,  die  umgekehrten  Gewichte  n und 
12 
(3,  SO  dass  1 = p7T  = PQ 
In  7.  ist  EE  = q'  -+-  jraa  EF  = naß 
FF  — q"  -j-  7t ßß 
Die  umgekehrten  Gewichte  q werden  nur  in  den  Querglie- 
dern EE,  FF hinzugefügt.  Die  Umwendung  von  7.  giebt 
8.  Die  Anzahl  der  Glieder  in  7.  und  8.  ist  = n — r. 
In  9.  berechnet  man 
& = ee£  -+-  eft 
k'= 
a Ä — P Ä 
f — n SX  t = 7t  . 
k"=  - — p"t... 
rl> 
• f — Q Ä f = ç Ä ... 
ê=Â-f  d = X~t  m'=a£  m"=bk.. 
Mit  der  Berechnung  dieser  Mittel  m ist  die  Rechnung  der 
Hauptsache  nach  geschlossen.  Zur  Prüfung  ist 
2 , 1 
<E'=  CCS 
pk 
u.  s.  w. 
(E  = am 
bm". 
2 2 , 
(E  = am 
bm 
Noch  sind  die  miltlern  Fehler  der  Mittel  zu  bestimmen. 
Die  mittlern  Beobachtungsfehler  seien  d.  Mit  ihnen  wird 
ganz  dieselbe  Rechnung  durchgeführt  wie  mit  den  Beob- 
achtungen X selbst,  von  5.  bis  9.  Man  erlangt  dadurch  statt 
der  Mittel  mm  ...  ihre  mittlern  Verbindungsfehler  d'  d"  . . 
Um  die  Ausgleichungsfehler  zu  erhalten  ist  noch  folgende 
Aufstellung  erforderliche 
10. 
/ tr 
s s . 
t t" . 
t n 
a a . 
bf  f>" 
12. 
m m 
t tt 
x x 
00  00 
naa,  nab,  . . \ s a s b . 
^3-  } 0 0 0 0 14. . 
nab , nbb,  . . j ta  tb  . 
15. 
m m.. 
2125  5»».. 
t 0 ff  0 
In  10.  ist  s = naa  s = nßa  . . . 
t ^ //  o 
t = nab  s =■  nßb  . . . 
