ÆMS. 
BULLETIN 
DE 
Tome  XI. 
JW  5. 
LA  CLASSE  PHYSICO-MATHÉMATIQUE 
DE 
L’ACADÉMIE  IMPÉRIALE  DES  SCIENCES 
DE  SAINT-PÉTERSBOURG. 
Ce  Recueil  parait  irrégulièrement,  par  feuilles  détachées  dont  vingt-quatre  forment  un  volume.  Les  abonnés  recevront  avec  le  dernier  numéro 
l’enveloppe,  le  frontispice  la  table  des  matières  et  le  registre  alphabétique  du  volume.  Les  comptes  rendus  annuels  de  l’Académie  entreront 
dans  le  corps  même  du  Bulletin;  les  rapports  sur  les  concours  Démidoff  seront  annexés  en  guise  de  suppléments.  Le  prix  de  souscription,  par 
volume,  est  de  trois  roubles  argent  tant  pour  la  capitale  que  pour  les  gouvernements,  et  de  trois  thaler  de  Prusse  pour  l’étranger. 
On  s’abonne  à St.-Pétersbourg  chez  AIM.  Eggers  et  Cie.,  libraires,  commissionnaires  de  l’Académie,  Nevsky-Prospect,  No.  1 — 10.  Les  abonnés 
des  gouvernements  sont  priés  de  s’adresser  au  Comité  administratif  (Komutcti.  IIpaBjeuia),  Place  de  la  Bourse,  avec  indication  précise  de  leurs 
adresses.  L’expédition  des  numéros  se  fera  sans  le  moindre  retard  et  sans  frais  de  port.  Les  abonnés  de  l’étranger  s’adresseront,  comme  par  le 
passé,  à M.  Léopold  Yoss,  libraire  à Leipzig. 
SOMMAIRE.  NOTES.  2.  Sur  l'emploi  des  procèdes  élémentaires  du  calcul  intégral  dans  des  questions  d' Analyse  indéter- 
minée. Bouniakovsky.  BULLETIN  DES  SÉANCES.  RECTIFICATION. 
XT  O T S S. 
2.  Note  sur  l’emploi  des  procédés  élémen- 
taires du  Calcul  Intégral  dans  des  ques- 
tions relatives  À l’Analyse  de  Diophante. 
Par  M.  V.  BOUN1 AKO WSKY.  (Lu  le  15  oc- 
tobre 1852.) 
Nous  nous  proposons  de  montrer  dans  cette  Note  l'usage 
que  l’on  peut  faire  des  diverses  méthodes  d’intégration,  et 
particulièrement  de  celle  de  l’intégration  par  parties,  dans 
la  résolution  de  différents  problèmes  concernant  l'Analyse 
indéterminée. 
Supposons  que  l'on  veuille  appliquer  le  procédé  de  Y in- 
tégration par  parties  à la  fonction  cp  [ce]  . (x)  dx , et  admet- 
tons, dans  ce  qui  va  suivre,  que  l’intégrale  indéfinie 
ftp  ( x ) . tp  (x)  dx 
puisse  s’obtenir  en  termes  finis.  Pour  trouver  cette  inté- 
grale, on  pourra  procéder  de  deux  manières  différentes  en 
observant  qu’on  peut  faire  porter  l’intégration  soit  sur  la 
fonction  cp[x),  soit  sur  ip[x).  Ainsi,  si  l'on  pose 
f cp  (x)dx  = P1 , fPfx  — P2 , J'P2dx  =P3  . . . . 
et 
ftp(x)dx=Ql,  fQ1dx=Q2,  fQ2dx=Q3 
on  aura  les  deux  formules 
ftp  (æ)  . i p (x)dx  = Pfj  [x)  — P2'ip'{x)-\-P3xp"(x ) — ...  H-  Const, 
f cp[x)  . ifj(x)dx  = Qpp(x)  — Q2pp\x)-\-Q?ltp'\x) — ...-+- Const. 
qui  conduisent  immédiatement  à l’identité 
[P^ix)  — P21p'[x)  -H  P3yj"{x)  — . . .] 
— [Qtfix)  — Qz(p'[x)  -+-  Q3tp"  [x)  — . . .]  = C,  (1) 
C désignant  une  quantité  constante  que  l’on  détermine  fa- 
cilement dans  chaque  cas  particulier.  Or,  il  pourra  arriver 
que  le  premier  membre  de  cette  équation  , quoiqu’identi- 
quement  égal  à la  constante  C,  affectera  des  formes,  plus 
ou  moins  remarquables,  suivant  le  choix  que  l’on  aura  fait 
des  deux  fonctions  <p(x)  et  ip(x).  De  cette  manière  l’iden- 
tité (1)  fournira,  dans  beaucoup  de  cas,  la  solution  de  ques- 
tions relatives  à l’Analyse  indéterminée,  comme  nous  le  fe- 
rons voir  plus  bas.  Pour  le  moment,  nous  nous  bornerons 
à considérer  quelques  cas  dans  l’hypothèse  particulière  que 
les  fonctions  <p[x)  et  ip(x)  sont  toutes  deux  entières. 
Si,  dans  l’intégrale 
f(ax  -+-  b)  [a  x -+-b')dx, 
on  fait  porter  l’intégration  par  parties  d’abord  sur  le  facteur 
ax-t-b,  on  trouve 
flflx  -+-  b)  {a  x ■ 
, C , (ax-t-b)2  (ax-t-b') 
b )dx= % 
1 2 a 
a' (ax-t-b)2 
2.3  a- 
Faisant  ensuite  porter  l’intégration  sur  l’autre  facteur 
ax  H-  b',  l’on  obtient 
/ , (a'x-t-b')2  (ax-t-b)  a(a'x-t-b')2 
f[ax  -i -b){a  x-i-b)dx  = ^7  2.3a'2  * 
