67 
Bulletin  physico  - mathématique 
63 
Les  deux  résultats  que  nous  venons  d’obtenir  ne  peuvent 
différer  enlr’eux  que  d’une  quantité  constante.  En  formant 
donc  leur  différence,  que  l’on  multipliera  par  2.'ia2a 2 pour 
se  débarasser  des  dénominateurs,  on  trouvera 
Y&ara  (ax  -\-b)  — a3  [a  x -+-  £/)]  (a! x H-  b' )2 
— [3  aa2  [ax  -+-  b')  — a 3 [ax  -+-  b )]  [ax  H-  b)2  = C,  (3) 
C étant  la  constante.  Pour  la  déterminer  observons  que, 
puisque  x est  arbitraire,  on  peut  poser 
b' 
a x -\-b  = o,  dou  x = T > 
et  par  suite 
donc 
ax  -+-  b ■■ 
ab  — ab' 
C=  [a' b - ab V. 
Supposons  enfin  x = o dans  l’équation  (2)  ; en  y mettant 
pour  C la  valeur  que  l’on  vient  de  trouver,  on  obtient 
Les  formules  (6)  donneront 
f 
X=—  326  et  Y = — 639, 
et  par  suite 
X0  = - 326  = - 1 = 24  (mod  52) 
Y0=  — 639  = - 2 ~ 47  (mod.  72). 
En  effet,  on  aura 
49.24  - 25.47  = 1. 
Ce  que  nous  venons  de  faire  pour  les  carrés  des  coeffi- 
cients de  l’équation  indéterminée  (4)  pourra  être  étendu  à 
des  puissances  quelconques  de  ces  mêmes  coefficients.  Ainsi, 
pour  résoudre  l’équation 
b3X—b'3Y  — 1,  (7) 
nous  appliquerons  le  procédé  de  l’intégration  par  parties  à 
la  différentielle 
[ax  è)2  ( a x -f-  b'fdx 
( 3a2a'b — a3  b')  b'2  — (3 aà2b'  — a'3b)  b2=[a'l  — ab')3.  (3) 
II  est  facile  de  voir  que  cette  identité  résout  la  question 
suivante  : la  solution  de  t équation  indéterminée  du  premier  degré 
bx  — by  = 1 (4) 
étant  donnée , trouver  celle  de  l'équation 
b2X  — b'2Y=  1.  (S) 
En  effet,  si  l’on  pose 
en  faisant  porter  l’intégration  d’abord  sur  l’un  des  deux 
facteurs  (ax -t- b)2 , [a.  x -+- b )2 , et  ensuite  sur  l’autre.  De 
cette  manière  on  trouvera,  en  omettant  les  constantes, 
f(ax  -t-  b)2  (a  x -t-  b')2dx  = 
(ax-t-b)3  (a'x-t-b')2  (ia'(ax-t-b)i(a'x-t-b')  2 a'2(ax-t-b)5 
3a  3.4a2  3.4. 5a3  ’ 
f(ax  -+-  b)2  (a  x h-  b'fdx  = 
{a'x-+-b')3  (ax-+-6)2  2a  (afx-t-t/)1  (ax-r-b)  2a2  (arx-t-br)s 
3 a 3 . 4a/2  3.4«  5 a'3 
x = a',  y — a, 
l’équation  (3)  se  réduira  â 
( Za2ab  — a3 b')  b'2  — (3 aa'2b'  — a3b)  b2  — 1 , 
ou  bien  encore  à 
b 2 (b'2  — 3 aa2b’  -+-  a3b)  — b'2  (b2  — 3a2a  b -f-  a3b  ) — 1 ; 
l’on  aura  par  conséquent 
X=b'2  — 3aa'2br  -+-  a'3b,  F=  b2  — 3 a2a' b a3b’ . (6) 
Soit  X0  le  résidu  minimum  de  X par  rapport  au  module 
b'2,  et  Y0  le  résidu  minimum  de  Y suivant  le  module  b2; 
X0  et  F0  désigneront  les  plus  petites  solutions  de  l’équa- 
tion (5). 
Exemple.  La  solution  la  plus  simple  de  l’équation 
lx  — 5y=  1 
étant 
x=3,  y = b, 
trouver  celle  de  l’équation 
72  .X—  52.  F = 1. 
On  a par  hypothèse 
b = 7,  b’  = 5,  a = 3,  a — 4. 
Comme  ces  deux  expressions  ne  peuvent  différer  entr’elles 
que  d’une  constante,  on  aura,  en  multipliant  leur  différence 
par  le  produit  3.4.5a3a3,  l’équation  suivante: 
a3[2.5a'2(ax-t-b)7‘— ôaa'(ax-i-b)  (a'x-t-b')-i-a2(a'x-t-b')2]  (a'x-t-b1)3 
— a'3  [2.5a2  (a'x-t-b')2— oaa'(ax-i-b)  (a'x-t-b')-t-a/2(ax-t-b)2]  ( ax-t-b )3 
= c.  (8) 
Or,  x étant  arbitraire,  on  pourra  faire  a'x-i-b'  — o,  ce 
qui  donnera 
, ba' — b' a 
ax  -t-  b = > — • 
a 
Substituant  celte  valeur  dans  l’équation  précédente  on  trou- 
vera 
C=  — (ba'  — b' a)3. 
Faisant  actuellement  x = o dans  (8),  on  a 
a 3 [2.5 a!2b2  — 5 aa'bb'-t-a2b'2]  b'2— a'3  [2.5a2t>'2 — ôaa'bb'-t-a^b2]  b 3 
= — (ba' — b'a)3. 
Si  l’on  suppose,  comme  dans  le  cas  précédent,  ba'  — b a 
= 1 , on  obtient  définitivement 
a'3  (2. 5a2  b'2 — 5aa'bb'-t-a'2b2)b3 — a3(  2 . 5a’ 262  — oaa'bb'-t-a2b'2)b'3  =1. 
Cette  dernière  formule  fournit  évidemment  la  solution  sui- 
vante de  l’équation  (7): 
