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de  l’Académie  de  Saint  -Pétersbourgf, 
X=  a3  (2 . 5 a2 b' 2 - 5aa'bb'  -4-  a'2b 2) 
Y = a 3 (2 . 5 a 2 b 2 — Saa'bb'  -4-  a2b'2). 
Les  plus  petites  valeurs  de  X et  F que  nous  désignerons 
par  X0  et  F0  s’obtiendront  en  prenant  le  résidu  minimum 
de  X par  rapport  an  module  b 3,  et  celui  de  Y relative- 
vement  au  module  b3. 
Appliquons  ces  formules  à la  résolution  de  l’équation 
73 . X — 53  . Y=  1. 
On  aura,  comme  plus  baut, 
b = 7,  b' = 5,  a = 3,  a = 4. 
Donc 
X=  63207,  Y—  173440, 
et  par  suite 
X0  = 63207  = 82  (mod.  53) 
F0  = Î73U0  = 225  (mod.  73). 
En  effet,  l’on  a 
73.82  — 53. 225  = 1. 
Proposons  nous  encore  de  résoudre  l’équation 
62X-6'3F  = 1.  (9) 
A cet  effet  nous  déterminerons  l’intégrale 
/(ax  b)  [a  x -4-  b')2dx 
en  faisant  porter  l’intégration  d’abord  sur  le  facteur  a# -4-6, 
et  puis  sur  (a'x  -t-  b')2;  de  cette  manière  nous  arriverons 
aux  deux  résultats  suivants: 
J\ax  -4-  b)  (a'x  h-  b'fdx  = 
, n,  r(o(t+jy  a'(ax-t-b)  (ax-\-b') 
L SI u* 
f(ax  -4-  b)  (a'x  -4-  b'fdx  = (a'x  -4-  b’)3  f 
a 2 (ax-+-&)2“] 
3.4a3  J 
a(a'x-t-b')~\ 
' 3.4a2  J* 
La  différence  de  ces  deux  expressions , multipliée  par 
3 . 4a3a 2,  sera  une  constante,  que  l’on  trouvera  égale  à 
(ba  — b a)4.  Posant  de  plus  ba  — 6a=l,  et  æ=o,  on 
obtiendra  définitivement 
(2 . 3a2a'2b'2  — 4 aa  3bb'-+-  a'4b2)  b2  — (4  a3ab  — a4b’)  b'3= 1 ; 
par  conséquent , la  solution  de  l’équation  (9)  sera  donnée 
par  les  formules 
X = 2 . 3 a2a’2b'2  — 4 aa3bb'  -4-  a'*b 2 
Y = ka3ab  — a*b'. 
Ainsi,  s’il  s’agissait  de  résoudre  l’équation 
72  . X — 53  . F=  1 , 
on  aurait,  comme  plus  haut, 
6 = 7,  6'  = 5,  a = 3,  a = 4. 
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et  l’on  trouverait 
X=  10449,  F = 4096. 
Quant  à la  solution  la  plus  simple  de  l’équation  proposée, 
elle  sera 
X0  ==  10449  = 74  (mod.  53) 
F0=  4096  = 29  (mod.  7 2); 
et  en  effet,  il  est  facile  de  vérifier  que  l’on  a 
72 . 74  — 53 . 29  = 1. 
L’analyse  dont  nous  venons  de  faire  usage  pour  la  réso- 
lution des  trois  équations  indéterminées 
62X  — 6?2F=  1 
63X— 6'3F=1 
62X  — 6'3F  = 1 , 
peut  évidemment  être  étendue  à l’équation  générale 
bmX — b'nY  = 1, 
lorsque  la  solution  de  l’équation 
bx  — 6^=1 
sera  connue.  A cet  effet,  en  supposant  x = a',  y = a,  on 
devra  chercher  l’intégrale 
f(ax  -4-  b)m  1 (a'x  ■+■  b') n ~~ 1 dx 
en  faisant  porter  l’intégration  d’abord  sur  l’un  des  deux 
facteurs  (ax  -+■  b)m  ~~  *,  (a'x -4- b') n ~ ' 1,  et  ensuite  sur  l’autre. 
Ainsi,  pour  passer  de  la  solution  de  l’équation  indéterminée 
du  premier  degré 
bx  — b\j  = 1 
à celle  de  l’équation 
bmX  — b'n  F=  1 , 
on  n’aura  pas  besoin  de  réduire  en  fraction  continue  le  rap- 
b'n 
Port  ps» 
Passons  actuellement  à quelques  autres  applications  des 
méthodes  d’intégration  à l’Analyse  de  Diophante. 
Considérons  la  formule  très  simple 
f(ax  -+-  b)dx  -4-  J(à x b')dx  = /[(a  -+-  a)x  -4-  6 -4-  6 ]<£r; 
elle  donnera  évidemment 
(ax-t-fe)2  (a’x-t-b)2  _ [(a+aV+t+fc?  Const 
2 a ^2  a'  2(a-4-a') 
ou  bien 
a (a  -4-  a')  (ax  -4-  b)2  H-  a (a  -t-  a ) (a  x -f-  6 )2  = 
aa  K(a  — 4—  a ) x —4—  6 -4-  6 ] 2 -t—  C. 
Si  l’on  pose  # = o,  on  obtient 
C = (ba—  b'a)2. 
