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Bulletin  pliysico  - mathématique 
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et  par  conséquent 
a (a  -+-  a)  ( ax  -t-  6)2  -4-  a [a  -+-  a')  [a  x -t-  b')2  = 
au  [(u  u ) x — -J—  b —i—  b J2  — 4-  [bu  b et)  . 
En  partant  de  cette  identité  on  arrive  à quelques  consé- 
quences que  nous  allons  indiquer.  Ainsi,  si  l’on  pose  x = \, 
on  obtient  la  formule 
a [a-+-a)  [a  -+-  b)2  -+-  a [a  -+-  a)  (a'  -+-  b')2  = 
aa  [a  -f-  a -t-  b -h  b')2  -+•  ( ba  — ab )2, 
qui,  pour 
a = b'  et  a = 6, 
se  réduit  à 
[b  -+-  b')*  = bb'  (2  b -i-  2 b')2  -+-  ( b 2 — b'2)2. 
Soit  encore 
b = u2,  b'  = v2; 
on  aura 
(■ u 2 -t-  fc2)4  = [2uv[u2  -f-  ü2)]2  -+-  (m4  — v4)2, 
ou  bien,  en  divisant  toute  l’équation  par  u 2 -+-v2,  on  trouve 
l’identité 
[u2  -t-  r2)2  = (2 uv)2  -t-  ( u 2 — v2)2, 
qui  représente  la  solution  générale  bien  connue  de  l’équa- 
tion indéterminée  du  second  degré 
Z2  = X2+  Y2. 
Intégrons  par  parties  la  différentielle 
(x  -i - a)  (x  — a)  dx 
d'abord  par  rapport  au  facteur  x-\-a , et  ensuite  relative- 
ment à x — a;  nous  trouverons 
f[x  a)  [x  — a)  dx  = [x- 1-  a)2  . 
f[x  -t-  a)  (x  — a ) dx  — (x  — a)2  . 
2<r  — 4 a 
2.3  : 
2a:-f-4a 
2.3 
Comme  de  plus,  la  différence  de  ces  deux  expressions  est 
constante,  on  aura 
(x  -f-  a)2  (2 a — x)-\-[x  — a)2  (2  a -+-  x)  — C. 
Faisant  x = a,  on  obtient  C=4a3,  et  par  conséquent 
(pp)  (2a  — «)  H-  (pp)  (2a  -+-«)  = a3. 
Posant  ensuite 
2a.-i-x  = p2,  2 a — x = q2, 
d'où  l’on  tire 
P2-*-?2 
* = — 2~ ’ a==— 4— 2 
. P2  — 12 
on  aura  définitivement  l’identité 
(p3  — 3 q2p)2  H-  (î3  — 3 P2q)2  = ( p 2 -4-  q2)3, 
qui  donne  la  solution  connue  de  l’équation  indéterminée 
Y2  1-  Y2  = Z3. 
Considérons  encore  quelques  cas  particuliers.  L’intégrale 
f x [x  -t- b)  dx 
pouvant  être  représentée  des  deux  manières  suivantes: 
x2  . xs  „ 2;th-3& 
2 (^  + ‘1-2^  = *-  -^3- 
et 
(x-l-bÿ 
. X — 
9 a 
: [x  H-  b)2 
2x — b 
2.3  1 
l’on  aura 
(. x -t-  b)2  (2x  — b)  = x2  (2  x h-  3 b)  -1-  C. 
Faisant  x = o,  on  trouve  C=  — ô3,  et  la  formule  précé- 
dente devient 
[x  + b)2[2x—  b)  + b3  = x2  [2x-i~3b). 
Si  l'on  pose 
2x  — b ■=  [x  -t-  b)  A ' 
et 
2x  -f-  36  = p2, 
l’on  arrive  à l’équation 
f M \3  . fÇ)—A3\3_ 
\8  — À3)  \8-A3J  — \8-A2)  ’ 
qui  donne  une  infinité  de  solutions  particulières,  en  nombres 
rationnels,  de  l’équation 
X3  -4 - F3  = Z2. 
Si  l’on  multiplie  l’équation  en  A par  (8  — A3)2,  on  aura 
(3A)3-t-(2 — A3)3=(8 — A3)  (à3-h1)2=9  (A3-4-l)2 — (A3-4-l)3, 
ou  bien 
(3  A)3  -4-  (2  — A3)3  -+-  (A3  -f- 1 )3  = [3  (A3  + l)]2, 
A étant  rationnel,  ou  même  entier.  Cette  dernière  identité 
donnera  une  intinité  de  solutions  en  nombres  rationnels  de 
l’équation  indéterminée 
X3  -4-  F3  -f-  Z3  = T2. 
Ainsi,  en  posant  A = l,  on  trouvera 
33H-l3  -4-  23  = 62; 
pour  A=  3,  l’on  a 
93  -4-  283  — 253  = 842, 
etc.  etc. 
En  traitant  de  la  même  manière  l’intégrale 
fx2[x  — a)  dx 
on  trouvera  pour  sa  valeur  les  deux  expressions  suivantes  : 
