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de  l’Académie  de  Saint- PéteffsiïOHrg. 
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3a;  ■ 
3.4 
4a  , 3a;2- 
et  [X  — ar  . 
-2aa;-H-a2 
3.4 
donc 
x3  (3x  — 4 a)  =(æ  — a)2  (3æ2  -i-  2ax  -+-  a2)  -h  C. 
Faisant  x = o,  on  a C = — a4,  et  par  conséquent 
x3  (3#  — 4a)  -+-  a*  = [x  — a)2  [ 2x 2 + (j:  + a)2] , 
ou  bien 
(x  — a)3  (3x  — 4a)  -+-  a4  = (æ2  — a2)2  + 2(æ2  — a#)2. 
Si  l’on  pose 
3#  — 4 a = x . A4,  d’où  a?  = --^a  - i 
3 — x4 
et  que  l’on  substitue  cette  valeur  dans  la  formule  précé- 
dente, on  aura 
(4A)4  -+-  (A4  — 3) 4 = (A8  — 6A4  — 7)2  2 (4A4  -f-  4)2. 
Cette  identité  fournira  une  infinité  de  solutions  particulières 
de  l’équation  indéterminée  du  4me  degré 
r+F4  = P + 2 F2. 
Ainsi , posant  A ==  1 , on  aura 
44  -+-  24  = 122  -t-  2 . 82, 
ou  bien,  en  divisant  par  24, 
24  h-  l4  = 32  -4-  2. 22. 
Posant  A = 2,  on  trouvera 
84h-134  = 1532  -h2.G82, 
etc.  etc. 
L’intégrale 
f[{x  -+-  a)4  — [x  — a)4]dx, 
déterminée  d’abord  directement,  et  ensuite  en  ayant  égard 
à la  réduction  très  simple,  fournie  par  l’identite 
(x  h-  a)4  — {x  — a)4  = 8 ( ax 3 -t-  a3x), 
conduira  à la  formule  suivante; 
(a -4-  x)5  -h  (a  — x)5  -+-  8a5  = 10a  (a2  -+-  æ2)2, 
qui  devient,  en  posant  a=  10A2 
(10A2  -t-  xf  h-  ( 10A2  — a;)5  -t-  8 (10  A2)*  = (103A5  H-  10  Aæ2)2. 
Nous  citerons  encore  la  formule 
/ f{x)dxr"  + l = 
• - T xmJ’f(x)dx—mx'"~1J'] f(x).Tdx-t-rr>  ' — — ^ x,n ~2Jf(x) x2dx—...~\ 
1.2.3.. .mL  1.2  J 
comme  pouvant  conduire,  en  certains  cas,  i des  relations 
plus  ou  moins  remarquables  entre  des  nombres  rationnels. 
Ainsi;,  en  posant  f(x)  = xn,  et  en  intégrant  directement  la 
fonction  xridx"‘~t~1  m h-  1 fois  de  suite,  on  obtiendra  le 
résultat 
jji  — f—  m — f—  i 
(n-t-1)  («-4-2) ....  («H-m-4- 1) 
En  faisant  usage  de  la  formule,  on  trouve  pour  la  valeur 
de  la  même  intégrale  multiple 
Æn-f-m-4-i  r 1 t m (m — 1)  1 ~l 
1 .2 .3.. ..m  n-f-2  1.2  n-t-3  J 
Enfin,  si  l’on  observe  qu’il  n’y  a pas  lieu  d’ajouter  de  fonc- 
tion complémentaire  à ce  résultat,  on  aura,  en  égalant  les 
deux  expressions  entr’elles 
1.2. 3. ...m  1 1 m(m— 1)  1 
: — m • 1 • — ..  . 
(n-Hl)(w-i-2)  • . (n-Hwi-4-1)  n- t-1  n-+-2  1.2  «-e-3 
formule  qui  servira  à décomposer  en  fractions  partielles  la 
fraction  rationnelle  numérique 
1.2.3 ....  m 
(n-t-1)  (n-t-2) ....  (n-t-nt-t-  lj 
Les  exemples  que  nous  venons  de  donner,  et  qu’on  pour- 
rait varier  d’une  infinité  de  manières,  suffisent  pour  mon- 
trer le  parti  que  l’on  peut  tirer,  pour  l’Analyse  indétermi- 
née, de  l’emploi  de  divers  procédés  d’intégration,  appliqués 
à la  même  différentielle.  Les  différentes  formules  du  Calcul 
inverse  des  différences  finies  peuvent  aussi  servir,  dans  beau- 
coup de  cas,  pour  le  même  usage. 
BULLETIN  DES  SÉANCES  BE  LA  CLASSE. 
Seance  du  13  (25)  août  1852. 
Lecture  ordinaire. 
M.  Lenz  annonce  à la  Classe  la  continuation  de  ses  recherches  sur 
le  pouvoir  conducteur  des  liquides  par  rapport  au  courant  galvanique, 
lorsque  la  coupe  transversale  du  conducteur  liquide  diffère  de  la  sur- 
face des  électrodes  qui  y Sont  plongés,  et  il  ajoute  que  la  rédaction 
de  ce  travail  a été  interrompue  et  retardée  par  une  refonte  totale  de 
son  Traité  de  physique  à l’usage  des  gymnases,  dont  on  lui  a demandé 
une  quatrième  édition. 
Lecture  extraordinaire. 
M.  Lenz  présente,  de  la  part  de  M.  Tyrtov,  et  lit  une  note  inti- 
tulée : Bemerkungen  über  die  Veränderungen , welche  in  der  Daniell’- 
schen  Batterie  vor  sich  gehen , während  sie  geschlossen  bleibt,  et  il  eu 
recommande  l’insertion  au  Bulletin.  Approuvé. 
Mémoires  présentés. 
M.  Paucker  de  Mitau,  membre  correspondant,  adresse  à l’Acadé- 
mie un  mémoire  intitulé:  Die  Gestalt  der  Erde.  Commissaire:  M. 
Struve. 
M.  Bogouslavskjr,  arpenteur  du  district  d’Oboïan  gouvernement 
de  Koursk,  adresse  à l’Académie  un  traité  manuscrit  d’Arithmétique 
