Aî  262. 
LA  CLASSE 
BULLETIN 
DE 
Tome  XI. 
Jtë  22. 
PHYSICO  - MATHÉMATIQUE 
DE 
L’ACADÉMIE  IMPÉRIALE  DES  SCIENCES 
DE  SAINT-PÉTERSBOURG. 
Ce  Recueil  parait  irrégulièrement,  par  feuilles  détachées  dont  vingt-quatre  forment  un  volume.  Les  abonnés  recevront  avec  le  dernier  numéro 
l’enveloppe,  le^^ntispice  la  table  des  matières  et  le  registre  alphabétique  du  volume.  Les  comptes  rendus  annuels  de  l’Académie  entreront 
dans  le  corp»  Srane  du  Bulletin;  les  rapports  sur  les  concours  Démidoff  seront  annexés  en  guise  de  suppléments.  Le  prix  de  souscription,  par 
volume,  est  de  trois  roubles  argent  tant  pour  la  capitale  que  pour  les  gouvernements,  et  do  trois  thaler  de  Prusse  pour  l’étranger. 
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SOMMAIRE.  MÉMOIRES.  11.  Sur  les  dérivées  des  fonctions  algébriques.  Ostuogradsry.  12.  Recherches  sur  les  propriétés 
de  l'élément  galvanique.  Premier  article.  Pétrodchevskv. 
MÉMOIRES» 
il.  Sur  les  dérivées  des  fonctions  algébriques 
par  M.  OSTROGRADSKY.  (Lu  le  12  juin  1850.) 
1.  Nous  allons  établir  ce  théorème  fort  simple:  que  le 
degré  de  la  dérivée  d'une  fonction  algébrique  est  inférieur 
d’une  seule  unité  à celui  de  la  fonction  elle-même;  à moins 
pourtant  que  ce  dernier  ne  soit  zéro.  Le  théorème  dont  il 
s’agit  sera  établi  sans  la  considération  des  limites,  qui  ne 
nous  paraît  pas  suffisamment  claire  pour  un  objet  aussi  simple, 
et  sans  le  secours  des  séries  qui  ne  présenterait  pas  une 
rigueur  désirable. 
Désignons  par  x la  variable  indépendante  et  par  y une 
fonction  algébrique  de  cette  variable.  Il  est  toujours  permis 
de  supposer  que  la  dernière  soit  donnée  par  l’équation 
0 = A2yz+Aiy~i-A, 
que  nous  écrirons,  pour  abréger,  par 
f(x,y)  = 0 
et  dans  laquelle  l’exposant  n est  un  nombre  entier  et  les 
coefficients  An , An_v  . . . A2,  Av  A sont  des  polynômes  en- 
tiers en  x.  Nous  supposerons,  ce  qui  est  encore  permis,  que 
la  fonction  f{x,y)  est  indécomposable;  car  si  elle  ne  l’était 
pas,  on  appliquerait  à chacun  de  ses  facteurs,  supposé  in- 
décomposable, les  considérations  qui  vont  suivre. 
Le  degré  d’une  fonction  algébrique  y n’est  autre  chose 
.que  l’exposant  numérique  a,  qui,  pour  x infiniment  grand, 
Tendrait  fini  le  rapport 
Z 
xa% 
On  trouverait  cet  exposant  par  l’emploi  du  prallélogramme 
analytique  de  Newton,  ou  par  le  procédé  algébrique  dû  à 
Lagrange;  sa  détermination  est  trop  connue  pour  qu’il  soit 
nécessaire  d’en  parler. 
Comme  nous  devrons  considérer,  dans  la  suite,  les  degrés 
de  plusieurs  fonctions  différentes  de  x,  et  qu’il  ne  serait  pas 
commode  de  repre'senter  ces  degrés  chacun  par  un  lettre 
particulière,  nous  les  indiquerons  par  la  caractéristique  8 
placée  devant  la  fonction  dont  il  s’agira  de  marquer  le  degré. 
Ainsi  celui  de  y,  au  lieu  de  a,  sera  désigné  par  8y,  de  même 
8Ak  représentera  le  degré  du  polynôme  A ^ Pour  ce  qui  re- 
garde les  fonctions  dérivées,  nous  les  dénoterons,  d’après  La- 
grange, par  des  accents. 
L’équation 
f{x,y)  = 0 
définissant  y,  il  est  visible  que  son  premier  membre  dis- 
paraîtrait identiquement  si  l’on  y mettait  pour  y sa  valeur 
tirée  de  cette  même  équation,  et  par  suite,  le  degré  de  l’ex- 
pression f(x,y),  considérée  comme  fonction  de  x,  sera  évi- 
demment zéro.  Mais  si  l’on  y mettait  au  lieu  de  y , non  pas 
sa  valeur  tirée  de  l’équation 
f{x,  y)  = 0, 
mais  une  autre  fonction  algébrique  du  même  degré  8y  que 
cette  valeur,  par  exemple  le  monome  x Z accompagné  d’un 
coefficient  indépendant  de  x et  arbitraire,  l’expression  f[x,y) 
acquerrait  alors  un  degré  que  nous  représenterons  par  m. 
Nous  nous  écartons  de  la  notation  admise  tout-à-l’heure 
parce  que  il  ne  s’agit  pas  du  degré  actuel  de  la  fonction 
f(x,y),  degré  qui  est  zéro,  mais  de  celui  quelle  aurait 
conditionellement. 
La  dérivée  y de  y a pour  valeur 
f(x) 
f&Ÿ 
savoir  : 
A’flyn-i-A'n_1yn-l-i-  . . . A'2y2-t-A\y-t-A'  _ 
nAny"~l  ■-*-^A^y-+-Al 
11  est  visible  que  le  degré  du  numérateur  et  celui  du  dé- 
nominateur de  cette  valeur,  sont  inférieurs  au  degré  m de 
