339 
Bulletin  physîco  - mathématique 
3/10 
la  fonction  f{x,xj),  le  premier,  généralement  parlant,  d’une 
seule  unité  et  le  second  de  8y.  Ainsi  la  dérivée  y étant 
représentée  par  une  fraction  dont  le  numérateur  monte  à 
la  puissance  m—  1,  et  le  dénominateur  à la  puissance  m — 8y, 
nous  aurons 
8y'  = m—  1 — ( m — 8y)  = 8y — 1 . 
La  démonstration  précédente  n’est  pas  rigoureuse,  parce 
que  les  termes  les  plus  élevés,  soit  du  haut,  soit  du  bas 
de  l’expression  y',  pourraient  disparaître,  et  par  suite,  les 
différences  entre  les  exposants  des  termes  les  plus  élevés 
parmi  ceux  qui  resteraient,  pourraient  n etre  pas  Sy — 1. 
On  sait  que  par  la  substitution  de  xSy,  au  lieu  de  y , dans 
la  fonction  f{x,y ),  deux  termes  au  moins  de  cette  fonction 
doivent  acquérir  un  même  degré  m,  plus  élevé  que  celui 
de  tous  les  autres  termes;  supposons  que  les  termes,  dont 
il  s’agit,  soient 
ALyi-^Akyk-^Aiyl-+-  . . . 
et  qu’ils  se  trouvent  rangés  par  l’ordre  des  exposants  i,k,l... 
qui  vont  en  diminuant,  nous  devons  avoir 
(1)  m = i8y-\-8Ai  = k8y-\-8Ai=l8y-\r8Ai  = . . . . 
puis,  en  désignant  par  p,  le  coefficient  de  x 8y  dans  la  valeur 
de  y et  supposant 
Ai  — a;x8Al  H-  bc  x^A'~x  H- 
Ak=  dfLxS/lk~ t- 
Ai  — aix8jl  -t- 
nous  aurons  pour  déterminer  p,  l’équation 
0 = dip‘-+-akpk-i-aipl-t- 
dont  pour  abréger,  nous  représenterons,  le  second  membre 
par  (pp. 
Voyons  maintenant  les  termes  les  plus  élevés  dans 
f[x)  — A'kyk~^A'k-lyk~i-+-  ...  -H-  A^y^A' ty-t-A' 
et  dans 
f\y)  = nAkyh-l  + [n—  . . . 2A2y-t-Al 
Il  est  clair  qu’ils  ne  se  trouveront  que  dans  les  dérivées’ 
relatives  à as  et  à y,  de  la  partie 
Ait/  -t-  Akyk  h-  Aigl-+-  .... 
de  la  fonction  f(x , y)  où  sont  les  termes  les  plus  élevés  de 
cette  fonction  elle-même;  ainsi,  en  n’ayant  égard  qu’aux 
termes  les  plus  élevés,  nous  aurons 
f\x)  — 8Aia;pl-t-8Akaki)k-t-SAia/pl  ....  .)xm~x 
f (y)  (iaip1^1  -+-  kakpk~x  n-  laipl~x  -+- ) xm~8y 
La  dernière  équation  revient  visiblement  à 
f[y)  = <p'{p)xm~8y 
quant  à la  première,  en  y remplaçant  8 Ai,  8Ak,  8A/,  . ■ 
respectivement  par  leurs  valeurs 
m — i8y,  m — k8y,  m — I8y, 
tirées  des  équations  (1),  elle  deviendra 
f\x)  — 
savoir 
midipî-i-a^  -\-aLpl )xm~l 
( id;pl  -i-  kdk  pk  -t-  laip1 -r- y as"1- 1 
f (as)  = mcppxm~1  — pcp'fyqyx™-1 
ou  bien,  à cause  de  cpp  = 0, 
f[x)  = — pep'  ( p)8yxm~i 
Donc  en  substituant 
y t’ 
f'(x) prp\p)dyxm 
f (y)  <p'(p)xm~8y-i- 
savoir 
> c.  Sy—  J (1-»— Z) 
y =pSyx^ 
Les  fonctions  z et  n disparaissant  pour  la  valeur  infinie  de 
as,  il  s’en  suit  que  la  puissance  8y — 1 de  as  est  la  plus  éle- 
vée dans  y , c’est-à-dire  que  le  degré  de  la  dérivée  est  in- 
férieur d’une  unité  à celui  de  la  fonction  elle-même. 
La  conclusion  précédente  est  en  défaut  dans  le  cas  de 
8y  — 0,  puisque  alors  la  puissance  de  as  la  plus  élevée 
dans  le  numérateur  de  l’expression 
prp'p8yxm~'1-i-  .... 
(p'pxm~§y- 1- 
disparaît,  et  celle  qui  l’est  dans  le  dénominateur  de  la  même 
expression  y demeure;  mais  ce  cas  où  la  fonction  y aurait 
zéro  pour  degré  a été  prévu  et  exclu,  nous  y reviendrons 
tout-à-l’heure. 
Indépendamment  du  cas  8y  = 0,  il  faut  encore  examiner 
celui  où  la  dérivée  <p  (p)  s’évanouirait,  ce  qui  ferait  dispa- 
raître simultanément  les  puissances  les  plus  élevées  de  x 
en  baut  et  en  bas  de  l’expression  qu’on  vient  d écrire,  il 
serait  donc  nécessaire  de  rechercher  les  puissances  qui  sui- 
vent immédiatement  celles  qui  auront  disparu  pour  en  com- 
parer les  exposants.  Mais  on  évitera  cette  recherche,  qui 
pourrait  devenir  assez  compliquée,  par  la  considération  sui- 
vante. 
La  multiplicité  des  valeurs  de  p fournies  par  l’équation 
pp  — 0 
nous  montre  que  plusieurs  racines  y de  la  fonction 
y) 
sont  d’un  même  degré  8y,  et  si  l’on  avait  en  même  temps 
cp\p)  = 0 
il  faudrait  en  conclure  que  deux  ou  un  plus  grand  nombre 
de  ces  mêmes  racines  ont  aussi  le  même  coefficient  p de 
leur  terme  le  plus  élevé,  en  sorte  que  le  monome 
contenant  la  plus  haute  puissance  de  x qui  soit  dans  les  ra- 
cines dont  il  s’agit,  leur  sera  commun.  Nous  devons  décider 
la  question  relative  à la  puissance  de  la  dérivée  y , seulement 
pour  les  racines  y dont  nous  venons  de  parler;  pour  toutes 
