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de  l’Académie  de  Saint-Pétersbourg! 
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behalten  wird.  Um  diesen  Gleichungen  zu  genügen , sei 
yl=C  cos  t V(gk ) -t-  D sin  t V [gk) , und 
Vi = fiVi » y-i  — f%v i >••• 
endlich  = ft>y1  ==■  0,  daher  f = 0. 
Die  Einsetzung  dieser  Werlhe  ergiebt  für  die  unbekannten 
Factoren  f folgendes  System  von  Gleichungen  : 
0=p1k  —ql  (1  — fi), 
0 =Mfc  ?i  (1  “ fi)  - (fi  ~ f2)i 
1. 
® — i fa)  9ß-t-i(ffl  ftt-i-i)’ 
0 =V9fv- l/c  & - ! (fr- 2 - U - l)  - ^ (fr  - 1 — £«)• 
Zur  Abkürzung  sei  noch 
Pi  = A’Fi  +Pi  = Pu  - • -Pi-*-P2  “*“2)3h_-  • '-*-Pju,  = P/i’’ 
also  auah 
yJl=Pli  Qllz  = ^2’*  ' "»  QfJß==P(l‘ 
Wird  ferner  gesetzt: 
ffi  - K°w  — a fjk-i-a  ^k2  — . . .-+-  (—  i)'*cs^/tk'*-t-. . . 
so  ist  hauptsächlich  das  Bildungsgesetz  der  Coefficienten  (a) 
dieser  Reihe  zu  untersuchen.  Man  findet  leicht  aus  /: 
a /*  = ^i  h ■+"  h~*~’  • Iff 
Um  allgemein  a^zu  erhalten,  setze  man  in  die  Gleichung: 
®==<Itiffi — l (Pfi-t- y fi  9/i-t- 1)  f/i  y fi -t-i  f fi -t-i  ®*)# 
für  f die  obige  Reihe,  so  ergeben  die  in  k * multiplicirten 
Glieder  die  Gleichung: 
Pa-*- ia  ji~*~(lfi[a'  /i  a fi — il  = Qfi-t-i  \.a  fi-t- 1 
welche,  weil 
7)  — P P n - ^ fl  ~1~  1 n ^ fl 
■Pfl-t- 1 — *>’  '/«-Hi — 7 > <1/1  — t — 
>-*-i  > 
ist,  auch  folgende  Form  annimmt: 
P^(6L-A=i_a^-iy 
Der  dieser  Bedingung  genügende  Werth  von  a*  wird  erhal- 
ten wie  folgt: 
Aus  den  Zahlen  1, 2,  3 [i  bilde  man  die  Combinatio- 
nen  zu  je  A,  ohne  Wiederholungen;  es  seien  n,  n,  n,' . . . n * 
die  Glieder  einer  solchen  Combination,  nach  der  Grösse  stei- 
gend geordnet,  also  n <fn"  <fn" . . <y*.  Ferner  bilde  man 
das  Produkt: 
(*  - pt)  0-  pc)  o-^o-  • • ■ ~&) = 
wo  Pn,  =px  -t-p2  -t-p3  -+-  • • • pflr,  u.  s.  f.,  übereinstimmend 
mit  der  schon  eingeführten  Bezeichnung;  dieses  Produkt 
werde  mit  ln,  ln,r  lnrrf.  ./,/mulliplicirtund  dieSumme  sämmt- 
licher  Ausdrücke  dieser  Art  für  alle  möglichen  Verbindungen 
der  Elemente  1,  2,  3.  .p  zu  je  A genommen;  so  hat  man  a/,'/x. 
Hiernach  ist 
(p) 
o.  ß — E ln,  lnff  lnffi  • • • ln A . Ilri A, 
(ß) 
III. 
wo  E die  Summe  aller  Combinationen  aus  p,  Elementen  an- 
deutet. 
Beispiele  : 
lihP2 
:)= 
t ^1^3  (-P2  — *~P 3)  j 
*2 
^3 
Pi+Pi  Pi+Pi-t-Pz  Pi+Pi-t-Pa 
Von  der  Richtigkeit  dieser  beispielsweise  angeführten 
Werlhe  überzeugt  man  sich  leicht  durch  Entwickelung  von 
f2,  f3. . . aus  I Der  allgemeine  Beweis  für  den  in  III  ange- 
gebenen Werth  von  a ^ lässt  sich  also  führen: 
Werden  in  dem  Ausdrucke  111.  für  diejenigen  Theile, 
in  welchen  n*  = /x  ist,  von  den  übrigen  abgesondert,  worin 
n * höchstens  = — 1 ist,  so  geben  die  letzteren  zusammen 
a*„  . und  man  erhält: 
a*ß  ~ *Äß-i 
(Pr,1) 
oder 
„A  _ 
a ß 
ln  E l,,r  lntt  . . .1,, A- 
M-l 
lß 
A — 1 1 . 
%—  1 P. 
fl 
.ln A—  1 ^tA—  1 • P„A  - I ; 
ferner  ist 
A— 1 
a 
fl 
X I ( /U. — 1 ) f*  . 
Xfl_l~i~lfl  ^ hi'ln'f  • • ftA  — 2 . JTnA  — 2 • \ />  / 
folglich: 
(' 
A /yA 
fl~  a fl-\ 
— a 
A — 1 
)= 
-'V  . . .y  - - ■ Ji„A  - - . P J.  - < a 
— ^/!  — Inlntl'  • * — 2 • HfA  — 2 ■ JJ 
Eben  so  ist 
a ,(£-1-1  a /£  = 
<„ + , • > - 1 - • • • v-  v- 1 
