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Bulletin  pliysico  - mathématique 
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oder 
(P) 
^ I Hl^nll  ' 
1.1-  1.11  A - 1 .PJ-  L 
Werden  hier  wieder  rechter  Hand  die  in  l ^ multiplicirten 
Glieder,  für  welche  n;-~  1 = [i  ist,  von  den  übrigen  abgeson- 
dert, so  erhält  man: 
- **  ' nll nil  ' 
(P~~l) 
..ii-  i . iii - i .i>a-  i 
b. 
- /;  r ^ - 2 • ■ nj  - 2 • PV  - 21- 
Die  Uebereinstimmung  der  mit  fl.  und  l.  bezeichneten 
Werthe  beweist,  dass  die  Gleichung  III.  der  Bedingung  II. 
genügt.  Indem  man  sich  nun  leicht  überzeugen  kann,  dass 
der  nach  dieser  Regel  gebildete  Ausdruck  von  richtig  ist 
für  [i  = 2,  3,...  und  indem  man  mit  Hülfe  der  Gleichung 
/*)  allgemein  von  fß  auf  übergeht,  so  erhält  man 
schliesslich  : 
u 
(p)  (p) 
1 — “ l„i  ■ k -t_  “ fA 
■n’lnlt 
■ nnf,.k>+. 
da  für  À > [ l nach  III.  a1  ß = 0 ist. 
In  dem  von  Lagrange  untersuchten  Falle  gleicher  Ge- 
wichte (p)  in  gleichen  Abständen  (?)  wird  nach  obiger  Formel  : 
f,=> -**»(• -v)  - iv-‘ê>0 -$)  0 -£)  ■ 
während  die  Mèc.  anal,  angiebt  : 
, „ l2h 2 l*P 
l - [ijk  -+-  /z2  —r  — [i3  jr- 
wo  jU3.  .die  Binomialzahlen  u.  s-  w.  bedeu- 
ten. Es  muss  demnach  sein: 
■ft*. 
/!. 7 
welche  Summation  bemerkenswerth  erscheint.  Einen  von  der 
gegenwärtigen  Untersuchung  unabhängigen  Beweis  dieser 
Formel  will  ich  hier,  als  entbehrlich,  der  Kürze  wegen  un- 
terdrücken. 
Aus  dem  in  IV.  aufgestellten  allgemeinen  Ausdrucke  für  f 
folgt  die  zur  Bestimmung  von  k nöthige  Gleichung,  wenn  für 
//  die  Anzahl  sämmtlicher  Gewichte  (y)  gesetzt  wird,  nämlich: 
U = 0.  v. 
Sie  ist  in  Hinsicht  auf  k vom  j'ten  Grade  und  die  nähere  Be- 
trachtung der  Gleichungen  I.  lehrt,  in  so  fern  die  darin  vor- 
kommenden p und  q der  gegenwärtigen  Aufgabe  gemäss  über- 
all positive,  von  Null  verschiedene  Grössen  sind,  dass  sie  v 
reelle,  positive,  ungleiche  Wurzeln  hat. 
Durch  Vertauschung  von  k mit  k gehe  fß  in  f über. 
Multiplicirt  man  nun  die  ersten  [i  -+-  1 der  Gleichungen  I. 
der  Reihe  nach  mit  1,  flt  f2 , . . . f ß und  addirt  die  Produkte, 
so  kommt  : 
2=«-4-i  j 
k ‘AL  PA-f-i f/*  = 
(h—h-i-i)  (f  /i  f (f/i  f fi,- 
Verwechselt  man  hier  k mit  k[  also  auch  f mit  f,  so  folgt: 
/À  ==  fl  -+“  1 * 
I‘  •/  Px+lbf  A = 
xloq^  1)  (f  A ~~f Vp-t-i  (f  p~ f p-*-l)  fp> 
daher  : 
oder 
(*'  _ k)  [Pl  -4 -p2flfl  -i -P3f/2~i--  • .-I -Pp+if/fti  = 
9 fi- hi  fi  f/if  n-+-i)i 
indem  bei  der  Summation  hier  überall,  wie  gewöhnlich,  die 
obere  Grenze  ausgeschlossen  ist. 
Aus  VI.  folgt:  Sind  k und  k zwei  verschiedene  Wurzeln 
der  Gleichung  = 0,  so  ist  = 0 und  = 0; 
also 
À=  fl— H 1 f 
Z PA+jAf^O.  VII. 
A — Q 
Sind  die  Grössen  k und  k ' einander  gleich,  so  wird  fß  = f 
f/l-±.l=f/i-+.i  und  man  erhält  für  vorstehende  Summen 
zunächst  — • Der  wahre  Werth  findet  sich  auf  bekannte 
Weise,  nämlich: 
Wird  hier  für  k eine  Wurzel  der  Gleichung  — 0 ge- 
setzt, so  ist: 
A = fi- i-i 
aEo  PA  + ifA.fA=-fn’ 
df/i-t- 1 
dk 
I/i-i-l- 
MX . 
Nun  seien  k'k"li'r . . .kv  die  Wurzeln  (7c)  der  Gleichung  fv= 0, 
nach  der  Grösse  steigend  geordnet , k^  irgend  eine  derselben  ; 
so  ist  der  vollständige  Ausdruck  der  Ordinate  des  schwingen- 
den Gewichtes  Pl  folgender: 
Vi  = 
A—v-i-l 
L 
A—  l 
\Cx  cos 7 V{gkA)  -+-  sin tV{gk*)'] , 
