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de  1* Académie  de  Salsat  - Pétersfoorgf. 
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wo  C '2  und  Dß  die  zu  hr  gehörigen  Constanten  sind,  deren 
Gesammtzahl  2v  beträgt.  Wird  ferner  durch  der  Werth 
bezeichnet,  welchen  f durch  Einsetzung  von  k*  für  k erhält, 
so  findet  man  für  die  Schwingungen  von  : 
; F^\C;/^costV {rjh2)^DÀf^smtV(gkÂ)l  X. 
Wie  die  Constanten  Cß  und  Dj  mit  Hülfe  der  Gleichung  VII. 
bestimmt  werden,  bedarf  keiner  Erläuterung.  Man  findet, 
wenn  y °/u  und  k °JU  die  Werthe  von  y ^ und  für  t— 0 sind: 
N.CX= 
jv.ß<l.y(9/i-,)=  sjv+./V- 
XÏ. 
wo  der  gemeinschaftliche  Nenner 
/l 
M 
ist  und  nach  IX.  sich  auch  also  schreiben  lässt,  nämlich: 
N=  ~ fÄv- 1 ‘ ^ ’ % für  x = L. 
Hiermit  ist  die  vorliegende  Aufgabe  für  einen  mit  getrenn- 
ten Gewichten  beschwerten  Faden  gelöst.  Für  eine  stetig  ver- 
theilte Belastung  des  Fadens  gehen  die  gefundenen  Ausdrücke 
in  die  folgenden  über,  welche  ich  hier,  ausführlichere  Be- 
trachtungen einer  anderen  Gelegenheit  vorbehaltend,  noch 
kurz  angeben  will. 
Es  sei  Px  das  Gewicht  des  Fadens  vom  tiefsten  Punkte  bis 
zur  Höhe  x,  so  entspricht  den  vorigen  Differentialgleichungen 
jetzt  die  folgende,  worin  einstweilen  P für  Px  gesetzt  ist, 
nämlich: 
1 dP  dhy 
g dx  dt 2 
V£) 
dx 
XII. 
Hierin  werde  gesetzt  : y = C . f cos  t V(gh)  -+-  D . f sin  t V(gh), 
wo  f eine  noch  zu  bestimmende  Function  von  x ist,  so  folgt, 
entsprechend  den  Gleichungen  I.  im  vorigen  Falle, 
O lfdP 
0 = kf—  -+- 
d 
dx 
dx 
Nun  sei 
so  wird 
f—  1 — Xxk  -+~  — #3*8  -*-■ 
f XIII. 
in  inf.,  XSW. 
Xi  — x,X2  — fo  dl2f*d\  (l 
wo  Plx , Pl2,  . . die  Werthe  von  P für  x=lx , x—l2,. . sind. 
Es  sei  zur  Abkürzung 
nn  = 
so  wird  allgemein 
Die  Beihe  für  f convergirt  für  jeden  Werth  von  k,  wie  leicht 
zu  beweisen  ist. 
Schreibt  man  in  dieser  Reihe  k'  für  /c,  so  gehe  f in  f über. 
Alsdann  gelten  die  beiden  Gleichungen: 
kfdP  -+-  d Çp  — 0 und  k'fdP-t-d  Çp  C~^  — 0, 
aus  deren  Verbindung  hervorgeht: 
f:ff'dP=\j'i£-(t\r 
indem  hinsichtlich  der  Integrations-Constante  zu  bemerken 
ist,  dass  für  x — 0,  P verschwindet. 
Für  k = k folgt  hieraus: 
[xffjp= 
1 0 Ldk  dx 
XVI. 
Für  jedes  x zwischen  0 und  L hat  die  Gleichung  f—  0 lIn. 
endlich  viele  reelle,  positive,  ungleiche  Wurzeln  k und  keine 
anderen. 
Nun  sei  k eine,  k eine  andere  dieser  Wurzeln,  so  ist  f n 
und  f'  = 0,  also  nach  XV. 
F0tf'dP= »•  XVII. 
Ist  hingegen  k = k'  und  f = f = 0,  so  wird  nach  XVI. 
XWIII. 
Man  bezeichne  durch  k\  k'k . . . kx die  Wurzeln  der 
Gleichung  f=  0,  nachdem  darin  L für  x gesetzt  worden,  und 
zwar,  wie  bisher,  nach  der  Grösse  geordnet,  so  dass 
k'  < k"  < k'"  < 
<kA<k 
so  erhält  man  schliesslich,  wenn  noch  der  Deutlichkeit  we- 
gen f als  Function  von  x und  k durch  f(x,  k)  bezeichnet  wird  : 
A = 00 
y=£1  lCAf(x’ kÄ)  c°s  tV  ( gkÀ)-i-DÀf(x , kÀ)  sin  tV(gkÄ)  ] XIX. 
und  wenn  für  t = 0 , y = y°,  ~ = u°  ist,  nach  X VII. 
N.CÀ=JLy°f{x,kÀ)dP,  N.DÀV{gkz)=  fL ‘u°f(x,k*)dP,  M. 
0 •'o 
wo  der  gemeinsame  Nenner 
fL  [f[x,k*)\2dP 
J 0 
nach  XVIII.  sich  auch  ausdrücken  lässt  durch  den  Werth 
von 
37  • % • P für  x = L und  k — k*. 
dli  dx 
6 
